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Niveau Maths sup
inversion de pole A
Posté par chtiriconord
Bonjour, pourriez vous m'aider pour mon exercice.
On appelle inversion de pole A et de rapport k>0, la transformation F qui à tout point M différent de A associe M' tel que :
A,M,M' alignés
Le produit scalaire AM.AM' = k
Sur les 5 questions qui suivent, il faudrait vérifier mon raisonnement de la question 2 et m'aider pour la question 5. Merci d'avance
Dans cette partie A=O (origine du repère) et k=1
1.Montrer que si M a pour affixe Z alors M' a pour affixe z'= z/|z|²
Ca j'ai su faire
2.On note D la droite passant par O d'angle polaire a. Montrer que la droite D est globalement invariante par F
J'ai fait : Soit M appartenant à D donc arg(z) = a
Arg(z') = arg(z/|z|²) = arg (z) - arg(|z|²) = a - O (car |z|² réel positif) = a donc M' appartient à D.
Mon raisonnement est-il bon ?
3.On note D la droite d'équation ax+by+c=0. Montrer que F(D) est un cercle.
J'ai su faire
4.On considère le cercle C passant par O d'équation x² + y² + ax + by = 0. Montrer que F(C) est une droite
J'ai su faire
5.On considère le cercle de centre (U,V) et de rayon r. Montrer que F(C) est un cercle.
Je suis parti de
(x-u)² + (y-v)² = r²
x² + y² - 2ux - 2vy = r² - u² - v²
Après je suis bloqué
Salut 
Ton raisonnement est bon pour le 2.
Les raisonnements sont toujours un peu les même, pourquoi as-tu réussi les autres sans réussir le dernier?
pour le 3 j'ai utiliser le fait que x = x'/(x'² + y'²) et y = y'/(x'² + y'²)
donc
ax+by+c=0
donne ax' /(x'² + y'²) + by'/(x' ² + y'²)+ c = 0
donc ax' + by'+ c(x'² + y'²)= 0
donc je trouve facilement l'équation du cercle ensuite
pour le 4
j'ai x² + y² + ax + by = 0
donc en divisant par x² + y² , je trouve 1 + ax' +by' = 0 donc j'ai l'équation de la droite
mais pour le 5, j'ai
x² + y² - 2ux - 2vy = r² - u² - v²
donc en divisant par x² + y²
on a 1 - 2ux' - 2vy' = (r² - u² - v²)/(x² + y²)
et après je sais pas comment retrouver l'équation d'un cercle à partir de ca
Pourriez-vous vérifier mon raisonnement pour la question 5 Merci d'avance
Si M appartient au cercle de centre (u,v) et de rayon R alors en posant w = u + iv on a z = w + R exp (it)
z' = z / |z|²
z' = z / z z* ou z* signifie le conjugué de z
z' = (w + R exp (it)) / [(w + R exp (it)) (w + R exp (it))* ]
Or (w + R exp (it)) (w + R exp (it))* est un réel qui l'on note A
donc z' = (w/A) + (R/A) exp (it)
donc z' appartient au cercle de centre (w/A) et de rayon (R/A)
Merci
Bonjour pourriez vous m'aider pour cette question ?
Question 6. je dois montrer que si C te C' sont 2 cercles tangent en A (pole de l'inversion) alors l'image des 2 cercles est constituée de 2 droites parallèles D et D'
J'ai une idée mais il y a un passage ou je bloque :
Soit T une droite passant par le centre de C et par A. Comme cette doite passe par A elle reste globalement invariante. T est aussi un axe de symétrie pour C. Si je montre que F garde les symétrie alors D (image de C) sera perpendiculaire à T.
Avec le mm raisonnement je montrerai que D' perpendiculaire à T
d'ou D et D' parallèle.
Mais comment montrer que F conservent les symétrie ?
Merci d'avance
bonsoir,
5) ta démonstration d'hier 1Oh42 n'est pas exacte
ton A c'est |z²| c'est bien un réel positif mais il dépend de t sauf si le cercle est centré en O
tu pouvais terminer avec ton ébauche de démonstration du 04 19h56
je n'ai pas commencé au début mais on a toujours k=1 et A en O?
donc (x²+y²)(x'²+y'²)=1 donc 1/(x²+y²)=x'²+y'² tu remplaces dans ton avant dernière ligne ,tu peux diviser les deux membres par u²+v²-r² qui est non nul si le cercle ne passe pas par O
6) tu peux exploiter le résultat du4)
un cercle passant par O a pour image une droite dont tu as trouvé l'équation tu peux remarquer qu cette droite est perpendiculaire à O
si les deux cercles sont tangents en O leurs centres 12sont alignés avec O ils se transforment en deux droites qui sont donc perpendiculaires à la droite des centres donc parallèles à leur tangente commune