Niveau Reprise d'études

Ipp

Posté par
Slpok 28-08-18 à 15:44

Salut

J'ai vu récemment la notation pour l'IPP :

$\int u dv = uv - \int v du$ mais du coup je comprends pas bien, parce que :

$\int u dv = uv - \int v du \\ \Rightarrow u\int dv = uv -v\int du \\ \Rightarrow uv = uv - vu \\ u, v \in \mathbb{R^{*}}$
On arrive à une contradiction évidente, le membre de gauche étant forcément différent de 0, et le membre de droite égale à 0.

Du coup j'aimerais proposer qqch :

$\int u'v dx = uv - \int uv'dx\\ \Leftrightarrow \int \frac{du(x)}{dx}v(x)dx=u(x)v(x)-\int u(x)\frac{dv(x)}{dx}dx$

En utilisant :

$\frac{d(u(x)v(x))}{dx}=\frac{du(x)}{dx}v(x)+u(x)\frac{dv(x)}{dx}=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

On a :

$\frac{du(x)}{dx}v(x)=\frac{d(u(x)v(x))}{dx}-u(x)\frac{dv(x)}{dx}\\ \Leftrightarrow u'(x)v(x)=\frac{d(u(x)v(x))}{dx}-u(x)v'(x)\\ \Rightarrow \int u'(x)v(x)dx=\int \frac{d(u(x)v(x))}{dx}dx-\int u(x)v'(x)dx\\ =u(x)v(x)-\int u(x)v'(x)dx$

Du coup on se rend compte que l'affirmation de base veut dire qqch de complètement différent : $\int udv=\int u(x)dv(x)=\int u(x)\frac{dv(x)}{dx}=\int u(x)v'(x)dx$

Est-ce juste ?

Posté par re : Ipp 28-08-18 à 15:52

Bonjour

Ta première formule est fausse.

On a $\int_a^b u'(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^bu(x)v'(x)dx$ .

Conséquence immédiate de $(uv)'=u'v+uv'$

Posté par re : Ipp 28-08-18 à 15:53

Quand tu écris $\int u dv$ , u et v sont des fonctions, tu n'as pas le droit de sortir le u de l'intégrale !!

sinon dans ce que tu écris, il y a parfois des fautes, par exemple dv = v'dx
ne remplace par dv/dx par v'dx, on a dv/dx = v'

d(uv) = udv + vdu donc effectivement si on intègre ça donne uv = udv + vdu donc tu peux écrire indiféremment :

udv = uv - vdu ou
vdu = uv - udv

rajouter des x ne change rien à l'affaire.

Mais je n'ai peut-être pas bien compris ce qui te gène dans tout ça ?

Posté par re : Ipp 28-08-18 à 15:55

Ce qui me gène c'est ça : $\int u dv = uv - \int v du$
ça me semble complètement faux

Posté par re : Ipp 28-08-18 à 15:57

Camélia, ce n'est pas ce que j'ai écrit ?

Posté par re : Ipp 28-08-18 à 16:03

Si, mais tu dis que tu ne comprends pas, donc j'ai explicité. Je ne sais pas à ton niveau que représente df pour une fonction?
La formule que tu écris est vraie si tu interprètes correctement les choses. En particulier il y a une égalité de primitives...

Posté par re : Ipp 28-08-18 à 17:30

Bonjour
Je me permets d'intervenir pour dire que la seule formule valide est celle de Camélia 28-08-18 à 15:52 (enfin, au moins pour u et v de classe C1).

L'inconvénient de la notation u est qu'elle introduit un opérateur qui n'a pas droit de cité puisque, sauf éventuellement quelques rares cas, il est non définissable. En effet, dans un corps différentiel K, une primitive est définie à constante près. Donc si les constantes de K sont réduite à 0, ok, tout va bien, l'opérateur a une petite chance d'être définissable, et ce ne sera généralement que sur une partie de K.

Bref ! Cet "opérateur" est à utiliser avec toutes les pincettes possibles.