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Ipp

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termina123 24-10-20 à 02:31

Bonjour
Soit f la fonction définie pour tout x>0 par f(x)=\int_{1}^{+\infty}{\dfrac{dt}{t^{x}\sqrt{t^{2}-1}}}
On veut montrer par ipp f(x+2)=\dfrac{x}{x+1}f(x)
En fait il faut voir : \int_{1}^{+\infty}{\dfrac{dt}{t^{x}\sqrt{t^{2}-1}}}=\int_{1}^{+\infty}{\dfrac{t}{t^{x+1}\sqrt{t^{2}-1}}dt} sauf que j'ai pris du temps pour le voir et avant j'ai pris des « u' »/« v » au hasard ... il y'a pas une astuce pour voir les choses rapidement ?

Posté par
carpediemre : Ipp 24-10-20 à 09:31

salut

pour faire une IPP il faut un produit de deux fonctions : une qu'on va dériver et l'autre "qui est une dérivée de" ...

dans le cas présent 1/t^x peut aisément et naturellement être "une dérivée de "  (à une constante près)
et il est aisé de dériver l'autre fonction ... mais on voit bien que ça ne marchera pas ...

il faut donc considérer l'autre fonction comme "une dérivée de " mais vu la racine carrée et connaissant la dérivée d'une fonction composée la réécriture de l'intégrande devient alors "évident" ...

Posté par
termina123re : Ipp 24-10-20 à 14:48

Je vois merci

Posté par
carpediemre : Ipp 24-10-20 à 16:33

de rien

Posté par
termina123re : Ipp 25-10-20 à 16:33

Bonjour
f(2)=1, f décroissante et positive sur \mathbb{R}^{*}_{+}

Soit p\in \mathbb{N}^{*}, donner l'expression de f(2p) avec des factorielles

f(2p)=\dfrac{(2p-2)*(2p-4)*...*(p+2)*p*(p-2)*...4*2}{(2p-1)*(2p-3)*...*(p+3)*(p+1)*(p-1)*...*5*3}*f(2)
              =\dfrac{(2p-2)*(2p-4)*...*(p+2)*p*(p-2)*...4*2}{(2p-1)*(2p-3)*...*(p+3)*(p+1)*(p-1)*...*5*3}

Posté par
termina123re : Ipp 25-10-20 à 16:35

On a l'égalité suivante:

\forall x \in \mathbb{R}^{*}_{+},\;f(x+2)=\dfrac{x}{x+1}f(x)

Posté par
carpediemre : Ipp 25-10-20 à 17:30

le numérateur se factorise par 2?? ...

Posté par
termina123re : Ipp 25-10-20 à 18:28

\forall p\in\mathbb{N}^{*},\; f(2p)=2^{2(p-1)}\dfrac{((p-1)!)^{2}}{(2p-1)!}

Posté par
termina123re : Ipp 25-10-20 à 20:40

Question suivante:

\forall x>0,\;\phi (x)=x*f(x)*f(x+1)
On a \phi (x)=\phi (x+1)
Calculer \phi (n) pour n\in \mathbb{N}^*

\phi (n)=\phi (n+1) donc \phi (n)=\phi (2n)
\phi (n)=2n*f(2n)*f(2n+1) et la je dois transformer f(2n+1)mais je vois pas comment faire

Posté par
Jezebethre : Ipp 26-10-20 à 02:34

Bonjour

termina123 @ 25-10-2020 à 20:40

\phi (n)=\phi (n+1) donc \phi (n)=\phi (2n)

Non !
La première égalité, qui s'écrit aussi phi(n)=phi(n-1) pour n >= 2, vous permet directement d'avoir une expression de phi(n) en fonction de f(1) et f(2).

P.-S. : si vous n'écrivez pas l'énoncé en entier, on ne peut pas saisir l'esprit de l'exercice et c'est assez gênant.


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