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irrationalité de π

Posté par
toureissa 13-01-18 à 18:43

Bonsoir,

J'ai besoin d'aide sur cet exercice. Je suis complètement bloqué sur la question a).

a)  Pour a,b  entiers naturels non nuls, montrer que la fonction polynômiale P_n(x)=\frac{1}{n!}x^n(bx-a)^n et ses dérivées successives prennent en x=0 des  valeurs entières.

b) Établir la même propriété en x=\frac{p}{q }.

c) Pour n entier naturel non nul, on pose  I_n=\int_{0}^{ \Pi }{P_n(t)sintdt}

Montrer que I_n \rightarrow 0

d) En supposant \Pi =\frac{a}{b} Montrer que In . Conclure.

Posté par
boninmire : irrationalité de π 13-01-18 à 18:52

a) Pour x=0, Pn(0)=0 est bien un entier
Calcule peut-être les dérivées première et seconde de Pn pour démarrer et vérifie que leur valeur en 0 est un entier. Ensuite, essaie une récurrence ou utilise la formule de dérivation d'un produit à l'ordre n.

Posté par
toureissare : irrationalité de π 14-01-18 à 09:12

Bonjour,

Ona P_{n}^{(1)}(x)=\frac{n}{n!}x^{n-1}(bx-a)^n+\frac{nb}{n!}x^{n}(bx-a)^{n-1}


P_{n}^{(1)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}x^{n-1}(bx-a)^n+\frac{b}{(n-1)!}x^n(bx-a)^{n-1}


P_{n}^{(1)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}x^{n-1}(bx-a)^{n-1}[bx-a+bx]


P_{n}^{(1)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}x^{n-1}(bx-a)^{n-1}(2bx-a)


P_{n}^{(1)}(0)=0


Soit P(n) la proposition « m P_{n}^{(m)}(0)=0»

Initialisation

Pour m=0, m=1 c'est déjà vérifier

Hérédité

Supposons que P_{n}^{(m)}(0)=0, alors

Posté par
Sylvieg Moderateurre : irrationalité de π 14-01-18 à 09:27

Bonjour,
Un peu de psychologie :
Si les dérivées étaient toutes nulles, la question ne serait pas sur "valeurs entières".
Faire une conjecture avec seulement n = 0 et n = 1 est audacieux.

Je pense qu'il faut utiliser la formule de la dérivée nième d'un produit.

Posté par
carpediemre : irrationalité de π 14-01-18 à 10:21

salut

on peut remarquer que P'_n(x) = P_{n - 1} (x) (2bx - a) ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : irrationalité de π 14-01-18 à 10:36

Pas mal

Posté par
toureissare : irrationalité de π 14-01-18 à 11:49

Soit Qn la proposition « m≤n ,  P_{n}^{m}(x)=P_{n-m}(x)(2bx-a)»

Initialisation


carpediem @ 14-01-2018 à 10:21



on peut remarquer que P'_n(x) = P_{n - 1} (x) (2bx - a) ...


Hérédité

Supposons que  P_{n}^{m}(x)=P_{n-m}(x)(2bx-a)

P_{n}^{(m+1)}(x)=\int P_{n}^{(m)}(x)dx


P_{n}^{(m+1)}(x)=\int P_{n-m}(x)(2bx-a)dx


P_{n}^{(m+1)}(x)=\frac{1}{(n-m)!}\int x^{n-m}(bx-a)^{n-m}(2bx-a)dx


P_{n}^{(m+1)}(x)=\frac{1}{(n-m)!}\int (bx^2-ax)^{n-m}(2bx-a)dx


P_{n}^{(m+1)}(x)=\frac{1}{(n-m)!}\int u^nu'dx\: \mathbf{avec \: u=bx^2-ax }


P_{n}^{(m+1)}(x)=\frac{1}{(n-m)!}×(\frac{1}{n-m+1}×(bx^2-ax)^{n-m+1}+C)


P_{n}^{(m+1)}(x)=\frac{1}{(n-m+1)!}(x^{n-m+1}(bx-a)^{n-m+1}+C)

On peut prendre C=0

Et on conclut.

Dans ce pour m≤n P_{n}^{(m)}(0)=0


?

Posté par
perroquetre : irrationalité de π 14-01-18 à 12:24

Bonjour à tous.

L'idée que carpediem a exposée à 10h21 permet effectivement de faire une démonstration par récurrence, même si toureissa n'a pas su l'exploiter.

Je vais cependant indiquer une autre idée.

Premier cas: k\leq n-1 :
P_n est une fonction polynomiale admettant 0 comme racine de multiplicité d'ordre n. Donc, P_n et toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre n-1 s'annulent en 0.

Deuxième cas: k \geq 2n+1:
P_n est une fonction polynomiale de degré 2n. Donc, toutes les dérivées d'ordre supérieur à 2n+1 de P_n sont nulles ...

Troisième cas: n\leq k\leq 2n:
Ici, on va appliquer la formule de Leibniz à  P_n=fg avec f(x)=\frac{x^n}{n!} et g(x)=(bx-a)^n.
La seule dérivée de f qui ne s'annule pas en 0 est est f^{(n)}(x)=1. On en déduit que;
(fg)^{(k)}(0) = {k \choose n}f^{(n)}(0) g^{(k-n)}(0)= {k\choose n}g^{(k-n)}(0)
Il ne reste plus qu'à calculer explicitement g^{(k-n)}(0) ou à remarquer que g est une fonction polynomiale à coefficients entiers) ...

Posté par
toureissare : irrationalité de π 14-01-18 à 12:58

J'ai compris ,


g^{(k-n)}(0)=(k-1)!C_{n}^{k-n}b^{k-n}×(-a)^{2n-k}


P_{n}^{(k)}(0)=k!C_{n}^{k-n}b^{k-n}×(-a)^{2n-k} (entier) ?

Posté par
toureissare : irrationalité de π 14-01-18 à 12:58

J'ai compris ,


g^{(k-n)}(0)=(k-n)!C_{n}^{k-n}b^{k-n}×(-a)^{2n-k}


P_{n}^{(k)}(0)=k!C_{n}^{k-n}b^{k-n}×(-a)^{2n-k} (entier) ?

Posté par
toureissare : irrationalité de π 15-01-18 à 13:31

Bonjour,

Est-ce que ce que j'ai fait est bonne ?

Posté par
perroquetre : irrationalité de π 15-01-18 à 16:29

g^{(k-n)}(0)=(k-n)!C_{n}^{k-n}b^{k-n}×(-a)^{2n-k}    :  OK, entier comme produit de 4 entiers


P_{n}^{(k)}(0)=k!C_{n}^{k-n}b^{k-n}×(-a)^{2n-k}      :   non


\small P_{n}^{(k)}(0)= C_k^n g^{(k-n)}(0)        entier comme produit de deux entiers

Posté par
toureissare : irrationalité de π 16-01-18 à 12:51

Bonjour,

Merci.

toureissa @ 13-01-2018 à 18:43



b) Établir la même propriété en x=\frac{p}{q }.



C'est plutôt en x=a/b.


P_n(\frac{a}{b}-x)=\frac{1}{n!}(\frac{a}{b}-x)^n[b( \frac{a}{b}-x)-a]^n


P_n(\frac{a}{b}-x)=\frac{1}{n!}(\frac{a-bx}{b})^n(-bx)^n


P_n(\frac{a}{b}-x)=\frac{1}{n!}(-1)^n\frac{(bx-a)^n}{b^n}(-1)^nb^nx^n


P_n(\frac{a}{b}-x)=\frac{1}{n!}(bx-a)^nx^n


P_n(\frac{a}{b}-x)=P_n(x)

Soit:

P_n^{(k)}(\frac{a}{b}-x)=(-1)^kP_n(x)


P_n^{(k)}(\frac{a}{b})=(-1)^kP_n(0) (entier)

?

Posté par
perroquetre : irrationalité de π 16-01-18 à 13:11

OK

Posté par
toureissare : irrationalité de π 21-01-18 à 13:20

Bonjour,

Merci beaucoup je peux finir.


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