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Irrationalité de n.
Makoto03
Bonjour,
Soit n un entier naturel non carré. On se propose de montrer que est irrationnel en utilisant seulement le fait que
est bien ordonné.
Pour ce faire on raisonne par l'absurde en supposant qu'il existe deux entiers strictement positifs p et q tels que .
On introduit l'ensemble : .
1.Montrer que A a un plus petit élément q1. On a donc: , avec p1
.
2.Montrer qu'il existe un entier m1[1,
n[ tel que:
et conclure.
Merci d'avance.
salut
et alors ? qu'as-tu fait
on te donne tout ...
1/ n'oublie pas que N lui-même possède un plus petit élément ...
A est une partie non vide de ( on a supposé qu'il existe deux entiers q et p strictement positifs tels que ), donc A admet un plus petit élément p1.
ouais ... plutôt q_1 ...
et on peut même dire que Q_1 > ... ?
et alors pour 2/ ? quelle est l'idée générale de la question ?
Pour 2, il faut au début montrer l'existence de ce m puis démontrer l'égalité (on calcule( racine de n )+ m, et à l aide du conjugué, on obtient l'expression souhaitée ).
L'idée est de montrer q2=p1-m1q1 < q1
Salut!
Concernant l'existence de m1:
On considère l' ensemble:
Donc 
est une partie non vide de car n n'est pas un carré, donc 1 comme 1<n, et de plus est majoré par n. Ainsi: m1=max()=E(n)
On a (
. On trouve l'expression souhaitée en substituant
n par p1/q1)
On pose:
Par définition de m1 (partie entière de racine de n):
m1<n<m1+1
Donc
Et par conséquent: (p2,q2)(*)2
Ainsi q2A
Or: Ce qui est absurde car q1,q2
A et q1=min(A) (axiome de bon ordre de )
D'où n
.
Salut!
Concernant l'existence de m1:
On considère l' ensemble:
Donc
est une partie non vide de car n n'est pas un carré, donc 1 comme 1<n, et de plus est majoré par n. Ainsi: m1=max()=E(n)en particulier m_1 n'a aucune raison d'être ce que tu proposes !!!
On a
pour simplifier et ne pas m'embêter avec des indices inutiles !!
soit
pour tout entier m considérons la fraction
1/ montrer que
2/ montrer qu'on peut choisir m dans
...
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