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Irrationalité de n.

Posté par Profil Makoto03 04-10-21 à 22:00

Bonjour,
Soit n un entier naturel non carré. On se propose de montrer que \sqrt{n}est irrationnel en utilisant seulement le fait que est bien ordonné.
Pour ce faire on raisonne par l'absurde en supposant qu'il existe deux entiers strictement positifs p et q tels que \sqrt{n}=\frac{p}{q}.
On introduit l'ensemble : A= \{q\in N^*| \ni p\in N | \sqrt{n}=\frac{p}{q}\}.

1.Montrer que A a un plus petit élément q1. On a donc: \sqrt{n}=\frac{p_1}{q_1}, avec p1.

2.Montrer qu'il existe un entier m1[1,n[ tel que: \sqrt{n}=\frac{nq_1-m_1p_1}{p_1-m_1q_1}
et conclure.

Merci d'avance.

Posté par
carpediem
re : Irrationalité de n. 04-10-21 à 22:37

salut

et alors ? qu'as-tu fait

on te donne tout ...

1/ n'oublie pas que N lui-même possède un plus petit élément ...

Posté par Profil Makoto03re : Irrationalité de n. 04-10-21 à 22:47

A est une partie non vide de ( on a supposé qu'il existe deux entiers q et p strictement positifs tels que \sqrt{n}=\frac{p}{q}), donc A admet un plus petit élément p1.

Posté par
carpediem
re : Irrationalité de n. 05-10-21 à 09:37

ouais ... plutôt q_1 ...

et on peut même dire que Q_1 > ... ?

et alors pour 2/ ? quelle est l'idée générale de la question ?

Posté par Profil Makoto03re : Irrationalité de n. 05-10-21 à 15:43

Pour 2, il faut au début montrer l'existence de ce m puis démontrer l'égalité (on calcule( racine de n )+ m, et à l aide du conjugué, on obtient l'expression souhaitée ).
L'idée est de montrer q2=p1-m1q1 < q1

Posté par
carpediem
re : Irrationalité de n. 05-10-21 à 16:07

oui ...

Posté par Profil Makoto03re : Irrationalité de n. 09-10-21 à 22:28

Salut!
Concernant l'existence de m1:
On considère l' ensemble:

\Gamma =\ \{ m\in N^* | m<\sqrt{n} \}

Donc est une partie non vide de car n n'est pas un carré, donc 1 comme 1<n, et de plus est majoré par n. Ainsi: m1=max()=E(n)

Posté par Profil Makoto03re : Irrationalité de n. 09-10-21 à 22:48

On a \sqrt{n}=\frac{nq_1-m_1p_1}{p_1-m_1q_1} ( \sqrt{n}+m_1=\frac{n-m_1^2}{n-m_1}\Leftrightarrow \sqrt{n}=\frac{n-m_1^2}{n-m_1}-m_1. On trouve l'expression souhaitée en substituant n par p1/q1)

On pose:

p_2:=nq_1-m_1q_1

q_2:=p_1-m_1q_1

Par définition de m1 (partie entière de racine de n):
m1<n<m1+1

Donc p_2:=nq_1-m_1q_1=p_1(n.\frac{q_1}{p_1}-m_1)=p_1(\sqrt{n}-m_1)>0
Et par conséquent: (p2,q2)(*)2
Ainsi q2A
Or: \sqrt{n}=\frac{p_1}{q_1}<m_1+1\Rightarrow p_1<q_1(m_1+1)\Rightarrow p_1-q_1m_1<q_1\Rightarrow q_2<q_1 Ce qui est absurde car q1,q2A et q1=min(A) (axiome de bon ordre de )

D'où n.

Posté par
carpediem
re : Irrationalité de n. 09-10-21 à 23:15

Makoto03 @ 09-10-2021 à 22:28

Salut!
Concernant l'existence de m1:
On considère l' ensemble:

\Gamma =\ \{ m\in N^* | m<\sqrt{n} \}

Donc est une partie non vide de car n n'est pas un carré, donc 1 comme 1<n, et de plus est majoré par n. Ainsi: m1=max()=E(n)
je ne vois pas l'intéret de ce post ...

en particulier m_1 n'a aucune raison d'être ce que tu proposes !!!

Makoto03 @ 09-10-2021 à 22:48

On a \sqrt{n}=\dfrac{nq_1-m_1p_1}{p_1-m_1q_1}
ben non !! ça c'est qu'on veut prouver !!

pour simplifier et ne pas m'embêter avec des indices inutiles !!

soit \sqrt n = \dfrac p q où q est le minimum de A

pour tout entier m considérons la fraction f = \dfrac {nq - mp} {p - mq}

1/ montrer que f = \sqrt n

2/ montrer qu'on peut choisir m dans [1, \sqrt n[ tel que p - mq < q

...



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