vous avez été plus rapide que moi pour dégainer 
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Niveau seconde
irrationalité de racine de 2
Posté par emilie18 (invité)
Bonjour voila g fait mon dm,mais le probléme c'est ke jne sais pas si c juste et si il ya assez d'explication.voila le dm a faire:
1)nous allons suposé que racine de 2est rationel racine de 2=p/q et ou p/q est une fractionirréductible.Que peux t- on dire de p et q sachant que la fractionp/a est irréductible.
Ma reponse: Pour que le fraction p/q existe,il faur que le denominateur soit différent de 0 d'ou qn'est pas a o.Pet q sont 2 entiers qui ne peuvent plus etre reduit par un mm R et ils sont premiers entre.
2)exprimer 2q2 en fonction p
2q2=2(p/racine2)au caré
=2q2/2racine de 2
=2q2/4
=2q2=p2
3)Les valeurs possinles pour le dernier chiffre de p sont0.1.2.3.4.5.6.7.8.9En deduire les valeurs possible pr le dernier chiffre de p au carrée
2q2=02=0
pareil pr 1.2.3...
4faire de mm pr trouver les valeurs possibles pr le derniers chiffre de q2
g fép2=2*0au carré=0
A partir des 2questions precedentes et de la question 2 trouver la seul valeur possible pr le dernier chiffre de pet les seules valeur posible pr le derniers de q
?
jvous remerci d'avance mon dm c pr mardi
Posté par Emma (invité)re : irrationalité de racine de 2
Salut 
1) Un peu confus, mais tu as vu juste : p et q doivent être premiers entre eux...
2)
Je ne vois pas ce que tu fais :
On sait que .
Donc (en multipliant les deux membres de l'égalité par q) .
Et donc (en élevant les deux membres de cette égalité au carré) : .
Bonjour,
Désolé mais ce sujet a déja été traité ppleins de fois reporte toi à 
[lien]
A plus
Bonjour
Ton énoncé est incompréhensible . De plus cette question est trés connue et a été posté plus d'une 10éne de fois sur le forum ..
Merci d'utiliser la barre de recherche
Posté par Emma (invité)re : irrationalité de racine de 2
Je ne suis pas sûre d'avoir compris ta réponse.
Voici un premier tableau qui récapitule le dernier chiffre de p² en fonction de celui de p
Et voici un second tableau, claqué sur le premier, mais pour q.
La dernièreligne donne en plus le dernier chiffre de 2.q².
Or 2.q² = p²...
Donc leur dernier chiffre doit être le même !
Posté par keeho (invité)re : irrationalité de racine de 2
1)
Quand une fraction est irréductible de la forme p/q, p et q sont premiers entre eux. Autrement dit, p et q n'ont que 1 comme diviseur commun (sinon, on peut encore simplifier la fraction par ce diviseur).
En particulier, p et q ne peuvent être pairs tous les 2 donc l'un est pair et l'autre est impair ou tous les 2 sont impairs (cela fait 3 cas de figure).
2)
Tu peux mettre des exposants ce n'est pas clair sinon. On arrive effectivement à 2q²=p²
3)
Les valeurs possibles de p² sont {0,1,4,5,6,9}
Pour obtenir celles de 2q², il suffit de multiplier chaque chiffre de cette liste par 2 et de voir le dernier chiffre. On trouve que les seules valeurs possibles sont: {0,2,8}.
D'après l égalité du 2), le dernier chiffre de p² et 2q² doit etre le meme donc d'après les listes établies ci-dessus, c'est forcément 0.
Si p² a pour dernier chiffre 0, p a pour dernier chiffre 0. Et si 2q² a pour dernier chiffre 0, q a pour dernier chiffre 0 ou 5.
Mais d'après la question 1, p et q sont premiers entre eux. Or, si un nombre se termine par 0 ou 5, il est divisible par 5, ce qui contredit l'hypothèse de départ "=p/q"
Posté par keeho (invité)re : irrationalité de racine de 2
Ma remarque sur la parité dans la question 1) ne sert à rien. C'est juste que habituellement, on démontre ça par le pair et l'impair (Comme Euclide l'a fait il y a quelques années...).
Je connaissais pas cette démonstration mais elle est sympa.
Posté par Emma (invité)re : irrationalité de racine de 2
héhé 
J'ai un super prof qui m'a appris à faire des tableaux sous LATEX...
Alors pour une fois que j'ai l'occasion... j'en profite
Emma
<font size=0>Merci encore, muriel 
</font>
Coucou Emma
Juste une petite astuce vu que j'ai vu que tu avais du mal avec les espaces en latex 
Pour en faire , il suffit de mettre \rm en début de formule puis des tildé ~ pour faire les espaces
héhé , pas de probléme Emma et muriel Tout le mérite revient a Tom_Pascal pour avoir mis le Latex sur le site