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Niveau Maths sup
irrationalité de racine de 5
Posté par theboss1er
bonsoir
je chercher à montrer que racine de 5 est irrationnel mais je dois avouer que je sèche.
qqun aurai-t-il une preuve sous la main svp ?
merci d'avance
a+
Bonsoir, c'est un peu toujours la même chose.
Supposons que racine de 5 soit rationnel
Alors il existe p et q premiers entre eux tels que p²=5q²
On sait que modulo 3, les seuls restes d'un carré sont soit 0, soit 1.
On on déduit que p²=0 ou p²=1 mod 3
et 5q²=0 ou 5q²=2 mod 3
Si p²=5q² alors p²=5q²=0 mod 3
Mais 3 est premier et divise p² donc divise p
de même il divise 5q² donc divise q² (Théorème de Gauss) donc divise q
Absurde car p et q sont premiers entre eux.
Bonsoir
Si les modulo 3 te semblent compliqués:
p2 = 5 q2
5 divise 5 q2 donc 5 divise p2
or 5 est premier donc 5 divise p donc 52 divise p2 donc 5 divise q2 donc 5 divise q.
Moralité: 5 divise p et q, contradiction avec l'hypoythèse.
Sauf erreur.