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Niveau Prepa (autre)
Irrationalité racine de 3
Posté par TimTim123
Bonsoir à tous,
Voici mon problème : "Trouver une preuve géométrique de l'irrationalité de racine de 3 et, plus généralement de racine de (m²-1) (m=2,3,...)
Je suis un peu bloquer pour commencer en fait, la preuve de l'irrationalité de 3 est facilement faisable par l'absurde mais j'ai du mal à l'appliquer pour la preuve géométrique. Et j'imagine que la généralité en découle donc je ne peux pas faire grand chose.
Merci de vos réponses.
Bonjour,
On pourrait dire :
Si 
(m²-1) est rationnel, alors il existe une fraction p/q, et on peut supposer p et q irréductibles, telle que :
m²-1 = p²/q²
Donc :
(m²-1)q² = p²
p étant irréductible avec q, on en déduit (à justifier) que m²-1 est un carré parfait, donc qu'il existe a entier tel que :
m²-1 = a²
Ou :
a²+1 = m²
Ce qui impliquerait que (1, a, m) soit un triplet pythagoricien.
Or il n'existe aucun triplet pythagoricien dont un des termes soit 1, le plus "petit" étant (3, 4, 5)
L'argument géométrique étant alors le recours au théorème de Pythagore.
Ça vaut ce que ça vaut, le sujet va certainement intéresser les "grosses pointures" du site, j'attends leur retour avec impatience 
Bonjour,
Je n'avais pas envisager de lien avec les triplets pythagoriciens, ça m'ouvre à de nouvelle piste pour la généralisation donc merci de ta réponse !
Bonjour,
Il me semble que qualifier cette démonstration de "géométrique", c'est un peu abusif. Etait-ce vraiment la solution attendue ?
Bonsoir à vous deux,
j'ai regardé vos messages hier soir, ai un peu attendu, comme LeHibou, d'autres interventions .... à suivre
D'accord avec toi
Citation :
boninmi
, la solution n'est pas "très géométrique", à part un peu de Pythagore (inévitable). Cela dit, il sera sans doute difficile de se passer d'un minimum de calcul.
boninmi
Eventuellement un début de piste :
Considérer un triangle ABC rectangle, mettons en B, avec AB = rac(m²-1), BC = 1, AC = m.
On construit un triangle ADE, rectangle en D, avec A, B, D et A, C, E alignés, et donc semblable à ABC. Si je ne me trompe, les côtés de ce triangle sont : p, m, q (avec les notations de LeHibou)
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