en fait si c'était rationnel cela voudrait dire que l'entier n qui est cubique et son suivant est aussi un multiple de 3
or si n racine de 3 n+1 n'est pas racine de 3

vois tu l'idée

Pourquoi multiple de 3?

Flo_64 : oui, je vois l'idée, j'y avais pensé.
Mais je n'arrive pas à l'écrire mathématiquement.

Supposons que l'expression est rationnelle.
Elle s'écrit sous la forme p/q irréductible.
Pour affirmer que n est un cube, il faudrait démontrer que si une somme est rationnelle, alors les éléments de la somme sont rationnels. Est-ce vrai ? Comment cela se démontre-t-il ?

Par contre, pour les passages, Racine(n) € Q => Racine(n) € N => Racine(n+1) !€ N,  j'ai trouvé comment faire.

bonjour
Posons;    
on a;  

()³  est pair donc       est pair soit= 2k

(+)³=2n+1+6kp/q
soit alors;      p³=(2n+1)q³+6kpq²
donc  q²/p³  i.e  q/p  (absurde)
sauf erreurs.........

Au début je n'avais pas compris la phrase : "q²/ i.e q/p"... (où est le verbe ? )

Mais j'ai retrouvé l'absurdité tout seul comme un grand.
Merci beaucoup kachouyab !