Si le radical d'un entier n qui n'est pas un carré parfait était entier a, on aurait en élevant au carré (puisque les deux termes sont positifs): n=a², ce qui est contraire à l'hypothèse.

ce n est pas si simple ! la somme de 2 irrationnels peut etre un rationnel
ex: A =rac(2) et B = 1- rac(2)  Notion a ne pas aborder trop precisement en 2nde

Bonjour
Pour la seconde, moi aussi je trouve que c'est "too much" Néanmoins:
Supposons que avec p/q fraction irréductible. On aurait en élevant au carré , d'où et en élevant encore une fois au carré, . Comme tous les termes sauf p⁴ sont divisibles par q, celui-ci devrait avoir un facteur commun avec q ce qui est exclu par hypothèse!

Erreur à la fin: celui-ci devrait avoir un facteur commun avec p ce qui est exclu!

Ha oui ca me rapel des souvenirs
le tres classique racine de 2 irrationnels je crois que c est mon premier souvenir qui me reste des math o lyceé ^^

Nofutur ...Euh, qu'est-ce qui me dit que radical de n n'est pas un décimal ou un rationnel ??? J'imagine que la démonstratione est du genre de celle qui démontre que racine de 2 n'est pas rationnelle, mais c'est coton.

Merci spmtb, il n'empêche que je ne sais pas bien comment leur justifier ça puisque c'est demandé dans le livre (Indice 2nde, ex19 p 21)

@ bientôt.

Yes ! Merci Camélia...

bonsoir charmuzelle
une demo sans doute comprehensible par des eleves de 2nde
on suppose rac(3) + rac (2) = a/b a et b entiers (relation 1)
or , identite remarquable , ( rac(3) + rac (2)) * ( rac(3) - rac (2)) =1
donc ( rac(3) - rac (2)) = 1 / ( rac(3) + rac (2)) 1/ (a/b) = b/a (relation 2)
en soustrayant (relation 2)et (relation 1)
on obtient
2 rac ( 2 ) = a/b - b/a donc  ... rac (2) rationnel
Conclusion......
bon cours

il manque un signe =      
donc ( rac(3) - rac (2)) = 1 / ( rac(3) + rac (2)) =  1/ (a/b) = b/a (relation 2)
     oups

Vous êtes bien compliqué les amis. On montre facilement que le carré de ce  nombre est irrationnel si on admet que racine de 3 est irrationnel. Donc ce nombre est irrationnel.

" Si a est un entier, alors soit racine de a est un entier, soit racine de a est irrationnel."

Comme ce n'est pas marqué dans les manuels de seconde, je me demandais si on devait le faire admettre aux élèves. D'où le topic. En tout cas ça n'entre pas dans la leçon ni dans le programme. le problème, c'est que dans les exercices, on leur demande si la somme de racine de 2 et de racine de 3 est un rationnel...

Je trouve que ce théorème a sa place dans un cours de seconde, sans la démonstration bien sûr.

En fait la démonstration de ce théorème est plus facile que l'histoire précédente. Si n=(a/b)^2
avec a/b fraction irréductible, alors b²n=a², et tout facteur premier p de n doit diviser a, donc a² et alors n est divisible par p². A partir de là, on montre que n est un carré, soit par négation, soit plus ou moins par récurrence sur le nombre de diviseurs premiers! Je continue à penser que pour la seconde, c'est beaucoup.

Ah ok pas besoni de la valuation p-adique pourle cas de la racine carrée.

C'est clair que la démonstration n'est pas à faire en seconde mais je ne vois pas pourquoi ne pas donner ce théorème.


Autre démo pour ton truc :

est un nombre rationnel. Donc si est rationnel, alors aussi. En ajoutant ces 2 nombres on en déduirait que est rationnel.

ah sorry c'est la même démo que spmtb