Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths sup
Partager :

Irrationnalité de π

Posté par
Hogwarts101
03-01-18 à 17:20

Bonjour,

je viens vers vous car j'ai un exercice de maths à faire et je un bute un peu sur une question:

on a Fn(x)= (1/n!)x^n(qx-p)^n avec n,p,q des entiers naturels non nuls
je dois montrer que pour tout k appartenant à [0,2n] l'image de 0 par la dérivée k-ième de Fn est un entier relatif. On doit pour cela séparer 3 cas: k<n, k=n et k>n

Pour k<n  je trouve que la dérivée est nulle donc appartient bien à Z
cependant pour k=n j'avoue avoir un peu de mal à exprimer la dérivée k-ième, j'ai essayé d'exprimer Fn(x) avec le binôme de Newton mais alors je trouve que la dérivée est nulle dans les 3 cas donc j'ai fait une erreur

merci de votre aide
modération > merci de fermer ton ancien compte, le multicompte est interdit

Posté par
Hogwarts101
re : Irrationnalité de π 03-01-18 à 17:32

désolé j'avais oublié que j'avais déjà un ancien compte sur ce site
OK, vu que tu as fermé !

Posté par
Schtromphmol
re : Irrationnalité de π 03-01-18 à 19:06

Bonsoir,

En écrivant les choses clairement :
F_n(x) = \frac{1}{n!} A_n(x) B_n(x);
avec A_n(x) = x^n et B_n(x) = (qx-p)^n;
A_n^{(k)}(x) = \begin{cases} \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k} & \text{ si } k\leq n, \\ 0 & \text{ si } k > n; \end{cases}
B_n^{(k)}(x) = \begin{cases} \frac{n!}{(n-k)!} q^k(qx-p)^{n-k} & \text{ si } k\leq n, \\ 0 & \text{ si } k > n; \end{cases}
A_n^{(k)}(0) = \begin{cases} 1 & \text{ si } k= n, \\ 0 & \text{ sinon }; \end{cases}
B_n^{(k)}(0) = \begin{cases} \frac{n!}{(n-k)!} q^k(-p)^{n-k} & \text{ si } k\leq n, \\ 0 & \text{ si } k > n; \end{cases}
F_n^{(k)}(x) = \frac{1}{n!} \sum_{m=0}^k{{k \choose m}A_n^{(k-m)}(x)B_n^{(m)}(x)}.
Quand on prend la valeur en 0 normalement il doit rester au plus un terme de la somme (quand A_n est dérivé n fois).

Posté par
Hogwarts101
re : Irrationnalité de π 03-01-18 à 19:28

Bonsoir,
merci beaucoup de votre réponse, j'avais mal exprimé les quantités pour k>n et j'ai bien compris mon erreur avec vos indications!
j'ai refait les calculs  et je trouve bien que dans chaque cas la dérivée appartient à Z: un grand merci à vous!!
Il y a cependant juste un point pour lequel je ne suis pas sûre: je trouvais que An(0) lorsque k=n était égal à n! et je ne suis pas sûre de comprendre pourquoi c'est en fait égal à 1

Posté par
Schtromphmol
re : Irrationnalité de π 03-01-18 à 19:36

Oui, An(0) = n!, mea culpa.

Posté par
Hogwarts101
re : Irrationnalité de π 03-01-18 à 19:41

ah d'accord, encore un grand merci!!!

bonne soirée à vous

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1328 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !