Niveau Maths sup

Irrationnalité de π

Posté par
Hogwarts101 03-01-18 à 17:20

Bonjour,

je viens vers vous car j'ai un exercice de maths à faire et je un bute un peu sur une question:

on a Fn(x)= (1/n!)x^n(qx-p)^n avec n,p,q des entiers naturels non nuls
je dois montrer que pour tout k appartenant à [0,2n] l'image de 0 par la dérivée k-ième de Fn est un entier relatif. On doit pour cela séparer 3 cas: k<n, k=n et k>n

Pour k<n je trouve que la dérivée est nulle donc appartient bien à Z
cependant pour k=n j'avoue avoir un peu de mal à exprimer la dérivée k-ième, j'ai essayé d'exprimer Fn(x) avec le binôme de Newton mais alors je trouve que la dérivée est nulle dans les 3 cas donc j'ai fait une erreur

merci de votre aide
_{modération > merci de fermer ton ancien compte, le multicompte est interdit}

Posté par re : Irrationnalité de π 03-01-18 à 17:32

désolé j'avais oublié que j'avais déjà un ancien compte sur ce site
_{OK, vu que tu as fermé !}

Posté par re : Irrationnalité de π 03-01-18 à 19:06

Bonsoir,

En écrivant les choses clairement :
$F_n(x) = \frac{1}{n!} A_n(x) B_n(x)$ ;
avec $A_n(x) = x^n$ et $B_n(x) = (qx-p)^n$ ;
$A_n^{(k)}(x) = \begin{cases} \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k} & \text{ si } k\leq n, \\ 0 & \text{ si } k > n; \end{cases}$
$B_n^{(k)}(x) = \begin{cases} \frac{n!}{(n-k)!} q^k(qx-p)^{n-k} & \text{ si } k\leq n, \\ 0 & \text{ si } k > n; \end{cases}$
$A_n^{(k)}(0) = \begin{cases} 1 & \text{ si } k= n, \\ 0 & \text{ sinon }; \end{cases}$
$B_n^{(k)}(0) = \begin{cases} \frac{n!}{(n-k)!} q^k(-p)^{n-k} & \text{ si } k\leq n, \\ 0 & \text{ si } k > n; \end{cases}$
$F_n^{(k)}(x) = \frac{1}{n!} \sum_{m=0}^k{{k \choose m}A_n^{(k-m)}(x)B_n^{(m)}(x)}$ .
Quand on prend la valeur en 0 normalement il doit rester au plus un terme de la somme (quand $A_n$ est dérivé n fois).

Posté par re : Irrationnalité de π 03-01-18 à 19:28

Bonsoir,
merci beaucoup de votre réponse, j'avais mal exprimé les quantités pour k>n et j'ai bien compris mon erreur avec vos indications!
j'ai refait les calculs et je trouve bien que dans chaque cas la dérivée appartient à Z: un grand merci à vous!!
Il y a cependant juste un point pour lequel je ne suis pas sûre: je trouvais que An(0) lorsque k=n était égal à n! et je ne suis pas sûre de comprendre pourquoi c'est en fait égal à 1

Posté par re : Irrationnalité de π 03-01-18 à 19:36

Oui, An(0) = n!, mea culpa.

Posté par re : Irrationnalité de π 03-01-18 à 19:41

ah d'accord, encore un grand merci!!!

bonne soirée à vous

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