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irrationnalité de cos (2pi/5)

Posté par damien_idf (invité) 18-11-04 à 20:02

Pour cela on a montré que l'équation de coefficient entiers 4(x^2)+2x-1=0 admettait cos(2pi/5) comme solution. D'ou par calcul du discriminent D=20, on obtient : cos(2pi/5)=(-1/4)+(racine(5)/4)
Donc pr montrer l'irrationnalité de cos(2pi/5) il faut et il suffit que -1+racine(5) soit irrationnel, donc racine(5) irrationnel si je ne me trompe pas... La demonstration pour racine de 2 est evidente mais je rame un peu pour racince de 5.

Merci d'avance pr votre aide

Posté par damien_idf (invité)irrationnalité de cos(2pi/5) 18-11-04 à 20:49

Pour cela on a montré que l'équation de coefficient entiers 4(x^2)+2x-1=0 admettait cos(2pi/5) comme solution. D'ou par calcul du discriminent D=20, on obtient : cos(2pi/5)=(-1/4)+(racine(5)/4)
Donc pr montrer l'irrationnalité de cos(2pi/5) il faut et il suffit que -1+racine(5) soit irrationnel, donc racine(5) irrationnel si je ne me trompe pas... La demonstration pour racine de 2 est evidente mais je rame un peu pour racince de 5.

Merci d'avance pr votre aide

*** message déplacé ***

Posté par simone (invité)re : irrationnalité de cos (2pi/5) 18-11-04 à 22:23

On suppose qu'il existe p et q\neq 0 premies entre eux tels que \sqrt{5}=\frac{p}{q} en élevant au carré on obtient 5q^2=p^2.
Si ni pn'a pas 5 dans sa décomposition en facteurs premiers alors p^2
n'a pas 5 dans sa décomposition en facteurs premiers alors que 5q^2 a 5 évidemment or la décomposition d'un entier en facteur premier est unique...
Si p a 5 dans sa décomposition en facteurs premiers alors p^2 l'a avec un exposant pair alors que qn'a pas 5 dans sa décomposition pas puisque p et q sont premiers entre eux et 5q^2 a 5 dans sa décomposition en facteurs premiers mais avec l'exposant 1 or la décomposition en facteurs premiers d'un entier est unique....
Donc on ne peut avoir 5q^2=p^2 et \sqrt{5} est irrationnel.
Cette démonstration adaptée permet de montrer que
\sqrt{P}P est premier est irrationnel ; en adaptant un peu, on montre que \sqrt{N} est irrationnel sauf si et seulement sauf si N est un carré.
salut

Posté par LNb (invité)re : irrationnalité de cos (2pi/5) 18-11-04 à 22:29

Bonsoir,

c'est pourtant la même démonstration que pour rac(2)

Par l'absurde : tu suppose que rac(5) = a/b avec a et b premiers entre eux
alors 5 = a²/b²
puis 5b² = a²
donc 5 divise a²
donc 5 divise a
donc a = 5a'
donc 5b² = 25a'²
donc b² = 5a'²
donc 5 divise b²
donc 5 divise b
donc a et b ne sont pas premiers entre eux
ABSURDE



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