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Irrationnel puissance irrationnel = rationnel ?
Bonjour,
Voici un exercice bien sympathique (bien qu'assez connu...).
Je l'ai eu dans des exercices de prépas sur la logique, et même si je connaissais déjà la réponse, je le trouve trop cool pour ne le partager avec vous.
Existe-il deux nombres irrationnels x et y tels que
soit rationnel ?
Bonne réflexion, et que ceux qui connaissent déjà ne dévoilent pas non plus !
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est considéré comme irrationnel ? Pour moi un irrationnel devrait être un réel, non ?Bonjour @cerveaulogik,
certes mais ce n'est pas justement ce qu'on voulait ?
deux nombres irrationnels x et y
Ah belle subtilité...
Je vais modifier le défi alors.
Plus précisément, on cherchera si l'on définit
et
comme irrationnels.
Bonsoir,
.......
Pour reprendre le sujet, on va dire que si l'on choisit des nombres dont la démonstration de l'irrationalité est nécessaire pour des personnes n'ayant peu de bagage en mathématique, il faut le faire.
Pour e, ce n'est pas trop difficile mais pour ln 2...
malou edit > j'ai supprimé les messages qui n'intéressait pas l'énigme 
En deux mots, supposer qu'il existe et
entiers tels que
revient à dire que
est un entier donc un rationnel.
La suite due à Monsieur Charles Hermite est ici: 
Irrationnalités de pi² et de e^s d'aprés Charles Hermite (TS).
bonjour
je ne voudrais pas dire, mais la démonstration de l'irrationalité de sans grand bagage mathématique est bien plus abordable que celle de e ou de ep.
bref, la démo de Lake du 26 à 19:39 est de loin plus élégante !
mm
Bonjour matheuxmatou,
Comme je le suggérais plus haut avec "Une histoire connue", la démonstration n'est pas de moi. Je l'ai trouvée il y a quelques années dans un petit livre qui ne paye pas de mine:
"Problèmes pour mathématiciens, petits et grands" chez Cassini de Paul Halmos.
Du même auteur existe aussi "L'algèbre linéaire en problèmes" toujours chez Cassini et dans le même format. (125 matheuxmatou x 190 matheuxmatou)
Il y a de tout: de l'amusette comme ici aux problèmes difficiles.
Le début de la préface du premier:
J'ai écrit ce livre en m'amusant, et j'espère que vous vous amuserez en le lisant. Le livre s'est presque écrit tout seul. Il contient quelques-uns des spécimens de la collection de problèmes que j'ai commencé à rassembler il y a longtemps. Certains de ces problèmes sont nés de conversations avec des amis, d'autres sont arrivés par le courrier, ou je les ai trouvés dans des livres, ou entendus dans des conférences. Ces problèmes m'ont intéressé, ils m'ont fait réfléchir, j'ai essayé de les résoudre, de les modifier, d'en construire de nouveaux, puis j'ai essayé de les classer, et de rédiger ceux que j'aimais le mieux. Et il en est sorti ce livre.
Je n'ai aucune action chez Cassini, mais ces deux petits livres sont à mon sens extraordinaires. Les commentaires inclus dans les solutions sont de tout premier ordre.
Je les recommande si tant est que mon avis aie une quelconque valeur...
Une parenthèse: pour en revenir à "ce qu'on sait et ce qu'on ne sait pas", le métier d'enseignant, quelque soit le niveau, consiste à resservir au mieux à ses élèves ce qu'on a appris. J'en profite pour déplorer la nouvelle disparition de perroquet (enseignant en CPGE et intervenant de qualité sur l'ile dont je salue la lucidité; il fallait oser le pseudo!) qui nous a laissé en plan avec ses planches.
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