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Irréductibilité

Posté par
Saiga 20-02-17 à 13:30

Bonjour, j'ai un problème avec la question suivante :

Montrer que : X^4-iX^2-i est irréductible sur \mathbb{Q}(i).

Je n'ai aucune idée de comment démarrer...

Posté par
etniopalre : Irréductibilité 20-02-17 à 15:15


1.
A : = X^4 - iX^2 - i   a-t-il des racines dans (i)  ?

Posté par
Saigare : Irréductibilité 20-02-17 à 15:25

Et bien je n'en ai aucune idée... Je n' arrive déjà pas décrire ce qu' est \mathbb{Q}(i)

Posté par
Manny06re : Irréductibilité 20-02-17 à 15:39

C'est un sous corps de
ensemble des a+bi  avec a€ et b€

Posté par
jsvdbre : Irréductibilité 20-02-17 à 16:55

Bonjour Saiga.

Il suffit de résoudre dans \C l'équation X^4 - iX^2 - i = 0 et de vérifier que les solutions ne peuvent pas appartenir à \Q(i).
On écrit donc Y = X^2 et l'équation devient Y^2-iY-i = 0 que tu dois savoir résoudre en posant \Delta = -1+4i etc.

Posté par
ThierryPomare : Irréductibilité 20-02-17 à 17:01

Bonjour,

Ajoutons que, compte tenu de la \Q-algébricité de i\in\C, alors

\Q(i)=\Q[i]=\{a+b\,i:(a,\,b)\in\Q\times\Q\}

Voir le message du 20-02-17 à 15:39.

Posté par
Saigare : Irréductibilité 20-02-17 à 17:24

Merci pour vos réponses très éclairantes! Je pense pouvoir y arriver maintenant.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Irréductibilité 20-02-17 à 17:59

Bonjour,
Attention, ne pas avoir de solutions dans (i) ne prouve pas ce qui est demandé.

Par exemple, X4+X2+1 n'a pas de solution dans (i).
Pourtant X4+X2+1 = (X2+X+1)(X2-X+1)

Posté par
Saigare : Irréductibilité 21-02-17 à 22:55

Bonsoir,

En effet Sylvieg, je vois bien ce que tu veux dire, mais si je montre qu'il n'y a pas de racines dans \mathbb{Q}(i) pour Q. Alors, si Q est réductible il s'écrit : (X^2+bX+c)(X^2+\beta X+\gamma), où : b,c,\beta,\gamma\in \mathbb{Q}(i) et par identification des coefficients je devrais arriver à une contradiction, d'où l'irréductibilité de Q.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Irréductibilité 22-02-17 à 08:13

D'accord

Posté par
alainpaulre : Irréductibilité 23-02-17 à 19:25

Bonsoir,

Le polynôme donné peut être écrit comme composés de deux polynômes du
second degré :

(x^2-x-i)   o   ( x^2)   ;  (x^2+\frac{1}{4}-i)  o  (x^2-\frac{i}{2}) . . .

Il existe une infinité de solutions.

Mais est-ce utilisable?

Alain

Posté par
Saigare : Irréductibilité 23-02-17 à 21:09

Bonsoir, à tous, je viens de m'apercevoir d'une erreur dans le message posant le problème , le polynôme qui m'intéresse est X^4-i X^2 -1.

J'ai donc posé Y=X^2, puis résolu le trinôme du second degré dans \mathbb{C}[X] et j'ai obtenu les 4 solution suivante :

x_1'=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}+i\sqrt{2-\sqrt{3}}

x_1''=-\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}+i\sqrt{2-\sqrt{3}}=-x_1'

x_2'=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}+i\sqrt{2+\sqrt{3}}

x_2''=-\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}+i\sqrt{2+\sqrt{3}}=-x_2'

Et comme aucun de ces nombre n'est dans \mathbb{Q}(i), on a que le polynôme X^4-iX^2-1 n'a pas de racine dans \mathbb{Q}(i)[X].

Désolé d'avoir mis si longtemps pour répondre les calculs sont assez lourds...

Bref... On passe à la seconde étape, puisque X^4-iX^2-1 n'a pas de racines dans \mathbb{Q}(i)[X], qu'il est de degré 4 et unitaire, alors s'il est réductible, il doit être de la forme (X^2+aX+b)(X^2+cX+d), reste plus qu'à identifier les coefficients...

Posté par
alainpaulre : Irréductibilité 24-02-17 à 09:09

Bonjour,


La factorisation est beaucoup plus simple:

x^4-ix^2-1=(x^2+ij)\times (x^2+ij^2) , j racine 3 è de l'unité;


Alain

Posté par
carpediemre : Irréductibilité 24-02-17 à 09:27

x^4 - ix^2 - 1 = (x^2 - \frac i 2)^2 - \dfrac 3 4

or 3/4 n'a pas de racine carrée dans Q donc ce polynome est irréductible sur Q(i)

...

Posté par
alainpaulre : Irréductibilité 24-02-17 à 10:28

Oui,

Il était souhaitable de proposer une solution évitant le calcul effectif des racines.


Alain

Posté par
Saigare : Irréductibilité 24-02-17 à 19:09

Oui en effet....  

Bon cela permet toujours de réviser les bases... et de s'entraîner aux calculs....

Même si du coup j'ai l'air fin maintenant...

Posté par
jsvdbre : Irréductibilité 24-02-17 à 20:04

Non, grâce à carpediem ... les autres bien sûr, ton expérience a augmenté et donc tu ressors plus fort de ce fil et c'est ce qu'il faut voir.

Posté par
carpediemre : Irréductibilité 24-02-17 à 20:56

j'ai évidemment attendu que tu postes ta réponse pour posté la mienne ...

Citation :
tous les grands penseurs de mathématiques ont toujours tendu à substituer les idées au calcul. LEJEUNE-DIRICHLET


mais pour avoir des idées il faut faire des efforts ... qui passent parfois par du calcul bourrin ... rarement inutiles ... mais souvent ou du moins parfois superflus ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Irréductibilité 24-02-17 à 21:33

Citation :
x^4 - ix^2 - 1 = (x^2 - \frac i 2)^2 - \dfrac 3 4

or 3/4 n'a pas de racine carrée dans Q donc ce polynome est irréductible sur Q(i)


Raisonnement à manipuler avec des pincettes car on risque de trouver aussi que le polynôme suivant est irréductible sur (i) :
X4 + X2 + 1 = (X2 + 1/2)2 + 3/4

Posté par
Saigare : Irréductibilité 24-02-17 à 22:59

Bonsoir,

Si on a la bonne idée et qu'on est attentif (conditions fumeuses en particulier pour moi ), on a :

X^4+X^2+1=(X^2+\frac{1}{2})+\frac{3}{4}=(X^2+\frac{1}{2})-\left(-\frac{3}{4}\right)=\left(X^2+\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(X^2+\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(X^2-[-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}]\right)\left(X^2-[-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}]\right)

En utilisant la forme exponentielle d'un nombre complexe, on a :

X^4+X^2+1=(X^2-e^{\frac{2i\pi}{3}})(X^2-e^{\frac{4i\pi}{3}})=(X-e^{\frac{i\pi}{3}})(X+e^{\frac{i\pi}{3}})(X-e^{\frac{2i\pi}{3}})(X+e^{\frac{2i\pi}{3}})

Que l'on ré-ordonne de la façon suivante :

(X-e^{\frac{2i\pi}{3}})(X+e^{\frac{i\pi}{3}})(X+e^{\frac{2i\pi}{3}})(X-e^{\frac{i\pi}{3}})=(X^2-X+1)(X^2+X+1).

Posté par
alb12re : Irréductibilité 25-02-17 à 08:08

salut,
ou plus rapide
x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2=etc

Posté par
alainpaulre : Irréductibilité 25-02-17 à 11:09

Bonjour,


Questions personnelles:
1)Peut-on déduire de :(x^2+ij^4)(x^2+ij^2) qu'il n'y a pas de solution dans Q(i),

2)quelles sont les 'propriétés' de Q(i)   (pour moi inconnu) ?


Alain

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Irréductibilité 25-02-17 à 11:39

Bonjour,
J'avais déjà utilisé cet exemple, X4 + X2 + 1 ,le 20 vers 18h

Posté par
alb12re : Irréductibilité 25-02-17 à 12:14

salut,
il n'est pas difficile de trouver a,b,c,d tels que
(x^2+a*x+b)*(x^2+c*x+d)=x^4-i*x^2-1

Posté par
etniopalre : Irréductibilité 25-02-17 à 12:49

[b]Saiga[/b
Tu dis que  ton polynôme A : = X4 -iX² - 1  s'écrit ( X² - X + 1)(X² + X +1)
C'est faux car ( X² - X + 1)(X² + X +1) = (X² + 1)² - X² .

Par contre si on pose r = exp(i/12)  et s  = exp(-i/12) tu as :
A = (X - r)(X + r)(X - s)(X + s)       .
Pour montrer que A est irréductible dans (i)[X]  il te suffit de montrer que
1. r²   (i)   et que  2. (X  - r )(X + + s)    (i)
( 3 démonstrations  avec la suffisance )

Posté par
alb12re : Irréductibilité 25-02-17 à 13:08

etniopal @ 25-02-2017 à 12:49


Tu dis que  ton polynôme A : = X4 -iX² - 1  s'écrit ( X² - X + 1)(X² + X +1)
C'est faux car ( X² - X + 1)(X² + X +1) = (X² + 1)² - X² .


elle n'a pas ecrit cela

Posté par
etniopalre : Irréductibilité 25-02-17 à 13:20

Effectivement , mais je n'ai pas bien compris ce que  (X² - X + 1)(X² + X +1)  venait faire là .

Posté par
alb12re : Irréductibilité 25-02-17 à 14:23

voir la mise en garde de Sylvieg

Sylvieg @ 20-02-2017 à 17:59

Bonjour,
Attention, ne pas avoir de solutions dans (i) ne prouve pas ce qui est demandé.

Par exemple,  X4+X2+1  n'a pas de solution dans (i).
Pourtant  X4+X2+1  =  (X2+X+1)(X2-X+1)


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