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Irréductibilité d'une fraction

Posté par
remyTPN
06-02-21 à 18:55

Bonjour pourriez-vous m'apporter de l'aide sur le problème suivant ?

"On considère deux entiers naturels non nuls a et b premiers entre eux.
Démontrer que la fraction (4a+15b) / (3a+11b) est irréductible."

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Irréductibilité d'une fraction 06-02-21 à 19:07

Bonjour,
Comment traduire que la fraction est irréductible ?

Posté par
remyTPN
re : Irréductibilité d'une fraction 06-02-21 à 19:14

le PGCD de (4a+15b) et de (3a+11b) vaut 1

Posté par
remyTPN
re : Irréductibilité d'une fraction 06-02-21 à 19:18

Comment le prouver ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Irréductibilité d'une fraction 06-02-21 à 19:21

Si d divise 4a+15b et 3a+11b alors d divise toute combinaison linéaire de 4a+15b et 3a+11b.

Posté par
remyTPN
re : Irréductibilité d'une fraction 06-02-21 à 19:26

Donc d divise a et b d'où d=1, d'où l'irréductibilité de la fraction ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Irréductibilité d'une fraction 06-02-21 à 19:29

Citation :
Donc d divise a et b
A justifier.

Posté par
remyTPN
re : Irréductibilité d'une fraction 06-02-21 à 19:30

--> on fait deux combinaisons linéaires, une pour faire disparaître a, l'autre pour faire disparaître b.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Irréductibilité d'une fraction 06-02-21 à 20:15

D'accord

Posté par
ty59847
re : Irréductibilité d'une fraction 06-02-21 à 20:24

J'aimerais bien voir la réponse finale.
On nous demande de prouver que si (xxx) alors (yyy) , et j'ai l'impression qu'on est parti pour démontrer que si (yyy) alors (xxx).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Irréductibilité d'une fraction 06-02-21 à 23:07

En partant de "Si d divise 4a+15b et 3a+11b" et obtenant d =1, on aura bien démontré ce qui est demandé.

Plutôt que demander la réponse finale, demander ce qu'on obtient quand on "fait disparaître a" par combinaison linéaire de 4a+15b et 3a+11b, par exemple.



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