Bonjour,

Je souhaite montrer que le polynôme suivant est irréductible dans : où est un entier naturel.

Je dispose de pas mal de résultats sur l'irréductibilité des polynômes. En particulier, un polynôme de degré 2 ou 3 est irréductible sur un corps F ssi il n'admet pas de racine mais un raisonnement par l'absurde où l'on suppose que le polynome admet une racine rationnelle est plutôt compliqué.
En regardant le polynome dans et en s'intéressant à son équivalente irréductibilité par le Lemme de Gauss, on constate que le critère d'Eisenstein ne marche pas ici car il n'existe pas d'irréductible qui divise 1.  

J'aimerais donc bien un peu d'aide avec cette question, merci d'avance (je précise que l'on ne souhaite pas simplement argumenter que les racines du polynomes sont irrationnelles : exemple avec où il ne suffit pas de dire que n'appartient pas à mais il faut plutot raisonner par l'absurde, dans le polynome que je propose, c'est un peu plus délicat... ).