Niveau LicenceMaths 2e/3e a

irreductibles de A[X]

Posté par
mousse42 03-04-21 à 14:57

Bonjour,

On trouve le théorème à la page 135, proposition 5.108 de l'ouvrage "Éléments de théorie des anneaux" de Josette Calais

Je souhaite montrer ceci :

Citation :
Soit un $A$ un anneau factoriel et $K_A$ son corps de fractions et $P$ un élément non nul de $A[X]$

$$Si $ \deg P>0 $ et $ P $ irréductible dans $ A[X] $ alors $ P $ est primitif dans $ A[X] $ et irréductible dans $ K_A[X]$

On va admette que $P$ est primitif dans $A[X]$ (déjà montré)

Pouvez-vous me dire si ma démonstration est correcte ?

__________________________________________________________________________________
PREUVE :

Soit $P=QR$ avec $Q,R\in K_A[X]$ et montrons que $Q\in K_A[X]^\times$ ou $R\in K_A[X]^\times$

Puisque $Q,R\in K_A[X]$ , il existe $a,b\in A^*$ tels que $aQ\in A[X]$ et $bR\in A[X]$ ainsi on a :

$abP=(aQ)(bR) \iff abc(P)P_1=abc(Q)c(R)Q_1R_1$

entre parenthèse on a $Q=c(Q)Q_1$ avec $Q_1\in A[X]$ , idem pour $R$

Puisque P est primitif on a $C(P)\sim 1$ , donc $abc(P)\sim abc(Q)c(R)$

Dès lors on a $P\sim P_1\sim Q_1R_1$ et l'irréductibilité de $P$ entraine que $Q_1\in A^\times$ ou $R_1\in A^\times$ ( $A[X]^\times =A^\times$ car $A$ est intégre)

Supposons que ce soit $Q_1\in A^\times$ on a $Q_1\in A^\times \subset K_A^\times \subset K_A[X]^\times$ et puisque $a\in A^*\subset K_A^*=K_A^\times\subset K_A[X]^\times$

On a $\boxed{aQ_1=Q\in K_A[X]^\times}$

merci !

Posté par re : irreductibles de A[X] 03-04-21 à 15:49

Bonjour,

Ça marche, mais on peut je pense aller plus vite en remarquant que puisque $\mathrm{cont}(P)=\mathrm{cont}(Q)\times \mathrm{cont}(R) \in A$ , on peut sans perte de généralité supposer que $Q$ et $R$ sont dans $A[X]$ .

Posté par re : irreductibles de A[X] 03-04-21 à 15:56

ok GBZM, j'ai développé car je ne maîtrise pas trop... sinon merci

Posté par re : irreductibles de A[X] 14-05-21 à 11:00

Bonjour,
Je reviens sur ton message GBZM (révision oblige) :

$\mathrm{cont}(P)=\mathrm{cont}(Q)\times \mathrm{cont}(R) \in A$ , je ne vois pas pourquoi ceci permet de dire directement que $Q,R\in A[X]$

$P$ est dans $A[X]$ mais lorsque l'on écrit $P=QR$ , on a $Q,R\in K_A[X]$ , donc $\mathrm{cont(Q)},\mathrm{cont(R)}\in K_A$ , il n'est pas évident que $Q,R$ soit dans $A[X]$

Posté par re : irreductibles de A[X] 14-05-21 à 13:25

j'ai beau tourner le truc dans tout les sens, il me semble qu'on est obligé de multiplier les polynômes $R$ et $Q$ par le ppcm des dénominateurs de leurs coefficients respectifs, pour avoir ces deux polynômes dans $A[X]$

en gros $aQ\in A[X]$ avec $a$ égal au ppcm des dénominateurs des coef de $Q$

Posté par re : irreductibles de A[X] 14-05-21 à 14:58

Je dis que ÇA PERMET DE SUPPOSER que $Q$ et $R$ sont tous les deux dans $A[X]$ . En effet, si on part de $P=QR$ avec $Q$ de contenu $q\in K$ , alors $q^{-1}Q$ et $qR$ sont tous les deux de contenu 1, donc dans $A[X]$ .

Posté par re : irreductibles de A[X] 14-05-21 à 15:06

ok, merci

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