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isobarycentre

Posté par yujiyo (invité) 22-04-04 à 16:32

besoin d'aide s'ils vous plait !

on considère un tétraède ABCD.On désigne par I,J,K,L,M,N les milieux
des arêtes [AB],[AC],[AD],[BC],[CD],[DB].

On se propose de déterminer l'isobarycentre G de {A,B,C,D}.
1) traduisez par une inégalité vectorielle le fait que g soit le barycentre
du système {(A,1);(B,1);(C,1);(D,1)}

2)Démontrez que G est le milieu des segments [IM],[JN],[KL].

3)Exprimez le vecteur AG en fonction des vecteurs AB, AC et AD.

4)On désigne par G[/sub]1 le centre de gravité du triangle BCD. Vérifiez
que G est le barycentre du système {(A,1);(G[sub]
1 , 3)}. Déduisez
-en la position du point G sur le segment [AG[/sub]1].

5)Désignons par G[sub]
2 le centre de gravité du triangle ACD, par G[/sub]3
celui du triangle ABD et par G[sub]
4 celui du triangle ABC.
Que pouvez-vous dire des quatre segments [AG[/sub]1],[BG[sub]2],[CG[/sub]3]et
[DG[sub]
4] ?

6)Enoncez une propriété relative aux segments joignant les milieux de deux
arêtes opposées d'un tétraèdre et aux segments joignant l'un
des sommets d'un tétraèdre au centre de gravité de la face opposée
à ce sommet .

       merci d'avance à ceux qui pourront m'aider

Posté par
gaa
re : isobarycentre 22-04-04 à 18:10

Bonjour
l'isobarycentre de (A,B);(B,1);(C,1);D,1) est tel que
GA+GB+GC+GD=0  (vectoriellement bien sûr)
tu as écrit inégalité, mais je suppose que tu voulais dire égalité.
2) tu peux déterminer G en prenant successivement les barycentres de
(A,1);(B,1) qui est I, et de (C,1);(D,1) qui est M et trouver G en
écrivant que c'est le barycentre de
(I,2);(M,2) et ce point se situe bien au milieu de [IM]
tu fais pareil en considérant les combinaisons A,C et B,D et enfin
A,D et C,A et tu vois que G est bien au milieu de tous les segments
[IM],[JN] et [KL] et que ces segments sont donc tous concourants en leurs milieux.
3) AG=AB+BG+AC+CG+AD+DG
et comme GA+GB+GC+GD=0
GA=BG+CG+DG
donc AG=AB+AC+AD+GA
2AG=AB+AC+AD
4) G1 est le barycentre de (B,1);(C,1);(D,1)
et tu peux déterminer le barycentre de ABCD en prenant le barycentre
de B,C,D càd affecté du coefficient 1+1+1=3 et écrire
GA+3GG1=0
donc GA=-3GG1
AG=3GG1=3(GA+AG1)=3GA+3AG1
4AG=3AG1
AG1=4/3AG
5) ce que tu as fait pour G1 et A , tu peux le faire pour les autres
combinaisons et tu peux à chaque fois déterminr ainsi G
et donc tous les segments tels que [AG1],[BG2] , [CG3]et [DG4] passeront
par G et sont donc concourants
6) je pense que tu saura trouver seul ces propriéés, d'autant plus
qu'elles ot pratiquement été énoncées question après question.
Bon travail

Posté par yujiyo (invité)re : isobarycentre 22-04-04 à 21:10

  merci beaucoup ga



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