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Niveau terminale
Isobarycentre d'un triangle
Posté par Reng
Hello ! J'aimerais avoir vos lumières sur mon devoir.
Soient A,B,C trois points distincts du plan : on admet l'existence d'un unique point G (appelé l'isobarycentre du triangle (ABC)) tel que :
vecteur(GA) + vecteur(GB) + vecteur(GC) = vecteur(0)
On se propose d'identifier l'ensemble (C) des points M tels que
(*) vecteur(MA) . vecteur(MB) + vecteur(MA) . vecteur(MC) + vecteur (MB) . vecteur(MC) = °
a) En partant de (*), montrer que
3MG2 = -(1/3)(vecteur(GA) . vecteur(GB) + vecteur(GA) . vecteur(GC) + vecteur(GB) . vecteur(GC)).
b) Montrer que
vecteur(GA) . vecteur(GB) + vecteur(GA) . vecteur(GC) + vecteur(GB) . vecteur(GC) = -(1/2)(GA2+GA2+GC2)
et en déduire les caractéristiques de (C)
Comment je dois procéder pour aborder la question 1) svp ?
salut
on veut bien t'aider à condition que cette ligne soit claire
(*) vecteur(MA) . vecteur(MB) + vecteur(MA) . vecteur(MC) + vecteur (MB) . vecteur(MC) = °
Bonjour Reng,
à partir de ta première égalité tu dois démontrer une autre, essaye de regarder bien la différence entre les deux égalités (*) et celle de la question a).
Tu pars de ta relation (*) et tu dois aboutir à ton égalité de la question a), qu'est ce qu'il faut ajouter ? comment ?
ce qu'il est possible de faire à partir de
vecteur(MA) . vecteur(MB) + vecteur(MA) . vecteur(MC) + vecteur (MB) . vecteur(MC)
vecteur(MA) . vecteur(MB) = (MG+GA)(MG+GB)= MG²+MG(GB+GA)+GA.GB = (MG+GA)(MG+GB)= MG²-MG.GC +GA.GB
vecteur(MA) . vecteur(MC) = (MG+GA)(MG+GC)= MG²+MG(GA+GC)+GA.GC = (MG+GA)(MG+GC)= MG²-MG.GB)+GA.GC
vecteur (MB) . vecteur(MC)= (MG+GB)(MG+GC)= MG²+MG(GB+GC)+GB.GC = (MG+GB)(MG+GC)= MG²-MG.GA+GB.GC
en addtionnant tout ca : 3MG²-MG.(GA+GB+GC)+GA.GB+GA.GC+GB.GC = 3MG²-MG.0 +GA.GB+GA.GC+GB.GC =
3MG²+ GA.GB + GA.GC + GB.GC voila !
Merci pour vos réponses,
Non non sur mon sujet c'est bien 0 et non vecteur(0) LeMathematicien1, et Flight d'où viendrait le -(1/3) sur mon sujet ?
Oui c'est un zero je me suis trompé, un produit scalaire n'est pas un vecteur :
En fait sur ton énoncé on n'a pas le zéro, on a un pour-cent "°"
Je trouve pareil que toi flight c-a-d : 3MG2 = -(vecteur(GA).vecteur(GB) + vecteur(GA).vecteur(GC) + vecteur(GB).vecteur(GC)) mais je vois pas que viens faire le 1/3 :x
J'viens de remarquer que v(GA)+v(GB)+v(GC)=vect nul et non 0 donc 2v(MG)(v(GA)+v(GB)+v(GC)) = 2v(MG) et non 0
b) Je te propose de traiter l'expression GA² + GB² + GC² un peu à la manière de la mise sous forme canonique d'un trinôme du second degré :
GA² + GB² + GC² = (GA + GB)² - 2GA.GB + GC² = etc.
Choisis l'une ou l'autre de ces deux expressions et applique le même traitement aux deux carrés qu'elle contient.
On peut en déduire que la longeur MG est constante et que l'ensemble des points M est un cercle de centre G. Mais pour définir le rayon de ce cercle, je ne vois pas. Peut-être pourrait-on faire intervenir les médianes du triangle ABC . . . .
Non, on pourrait seulement exprimer le rayon du cercle en fonction des longueurs des médianes du triangle.