Bonjour
en prenant I,J,K tous trois situés entre les 3 sommets du triangle ABC,
il est assez simple de démontrer que les trois triangles IAK;KCJ et JBI sont isométiiques.
AI=CK
AK=AC-KC et CJ=BC-BJ et comme les 2 éléments de droite de ces 2 égalités sont égales , tu auras bien
AK=CJ
et les angles compris entre ces 2 côtés égaux sont tous deux des angles de 60°
1 angle compris entre 2 côtés égaux: triangles égaux
Yu peux faire rigoureusement la même chose en comparant le 3ème triangle JBI avec l'un des 2 autres
Les 3èmes côtés de ces triangles càd IK;KJ et JI sont donc égaux entre eux et IKJ est par conséquent équilatéral.

les triangles ABI et AKD sont isométriques (je pense que tu n'as pas besion de mon aide pour le démontrer)
par conséquent
angle ABI=angle DAK
comme (BA), côté de l'angle ABI est perpendiculaire à (AI) côté de l'angle IAM et que les 2 angles sont égaux, cela entraine forcément que les 2 autres côtés de ces 2 angles soient également perpendiculaires
donc (AM) et (BI) sont perpendiculaires
(propriété des angles à côtés perpendiculaires qui sont égaux)
les triangles AIM et ADK sont donc 2 triangles rectangles avec un angle aigu égal.
Ils sont donc de même forme.
et à partir du moment où dans le triangle AIB recangle en A  AM est  hauteur, AIM et AMB sont de même forme ( triangles rectangles ayant 1 angle aigu égal)
Bon travail