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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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isométrie

Posté par
Tiantio
26-12-21 à 19:34

Bonjour à toutes et à tous !

Exo : on considère E = IR^3 muni du repère orthonormé canonique R(O,e_1{},e_2{},e_3{})

Soit f : IR^3 \rightarrow IR^3

                         (x,y,z) \rightarrow \frac{1}{3}(2x+y-2z-2,-2x+2y-z+1,x+2y+2z+1)

1. Montrer que f est une isométrie affine
2.Déterminer la nature géométrique et les éléments caractéristiques de f, la partie linéaire de f
3.Déterminer les points fixes de f
4.En déduire la nature de f  

Merci pour vos suggestions et ça me fera plaisir si je pourrais avoir une leçon sur les isométries, s'il vous plaît !

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : isométrie 26-12-21 à 21:02

Bonsoir

1. l'expression de f montre clairement que \large \boxed{f(O)=(-\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})}

et que pour tout point M=(x,y,z) de \mathbb R^3 on a \large \boxed{\overrightarrow{f(O)f(M)}=\frac{1}{3}(2x+y-2z,-2x+2y-z,x+2y+2z)=\vec f(\overrightarrow{OM})}

l'application \large \boxed{\vec f:(x,y,z)\mapsto\frac{1}{3}(2x+y-2z,-2x+2y-z,x+2y+2z)} étant clairement linéaire (endomorphisme de \mathbb R^3)

il s'en suit que f est un endomorphisme affine de l'espace affine \mathbb R^3.

f est alors une isométrie affine si et seulement si \vec f est une isométrie vectorielle de l'espace euclidien \mathbb R^3.

Et comme la matrice de \vec f dans la base orthonormée canonique (e_1{},e_2{},e_3) de \mathbb R^3 \large \boxed{\frac{1}{3} \left(\begin{array}{ccc}2&1&-2\\-2&2&-1\\1&2&2\end{array}\right)}

est clairement orthogonale, on voit que f est bien une isométrie affine de \mathbb R^3.

Posté par
Tiantio
re : isométrie 26-12-21 à 21:39

Merci beaucoup Madame, j'ai bien compris cette partie

pour les éléments caractéristiques, c'est le noyau et l'image ?

pour les points fixes, je résous f(x,y,z) = (x,y,z)

Posté par
Tiantio
re : isométrie 26-12-21 à 21:57

Pour la nature géométrique, puisque la matrice de f n'est symétrique et que son determinant vaille 1, j'en déduis que c'est une rotation  

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : isométrie 26-12-21 à 23:08

2. il me semble que dans cette question on demande la nature géométrique et les éléments caractéristiques de \vec f (a partie linéaire de f).

on a clairement \vec f\neq id_{\mathbb R^3} et un petit calcul donne \det\vec f=1

\vec f est donc la rotation vectorielle d'axe \vec D=\ker(\vec f-id_{\mathbb R^3})

en résolvant le système \large \boxed{\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2&1&-2\\-2&2&-1\\1&2&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)} on trouve \large \boxed{\vec D=Vect\left(\vec u=(-1,1,1)\right)}

l'angle \theta de la rotation vectorielle \vec f vérifie \large \boxed{trace(\vec f)=2\cos\theta+1=\frac{1}{3}(2+2+2)=2} et donc \large \boxed{\cos\theta=\frac{1}{2}}

d'où \large \boxed{\sin\theta=\pm\frac{\sqrt 3}{2}}.

Pour trancher du signe de \sin\theta on oriente \vec D par l'un de ses vecteurs directeurs unitaires \pm\frac{\vec u}{||\vec u||}

si par exemple \vec D est orienté par \frac{\vec u}{||\vec u||} le signe de \sin\theta est celui de \det(\vec u, \vec v,\vec f(\vec v))

\vec v est un vecteur directeur quelconque du plan \vec P=\vec D^{\perp}:-x+y+z=0

si on prend par exemple \vec v=(1,1,0) on a \vec f(\vec v)=(1,0,1) d'où le déterminant \left|\begin{array}{ccc}-1&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{array}\right|=-3<0

l'angle est donc \large \boxed{\theta=-\frac{\pi}{3}} sauf erreur bien entendu

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : isométrie 27-12-21 à 07:56

Bonjour à tous les deux,
@elhor_abdelali,
Et si tu proposais à Tiantio des pistes sans donner les réponses ?
Il me semble que ce serait plus dans l'esprit de l'île

Posté par
Tiantio
re : isométrie 27-12-21 à 12:15

Merci beaucoup pour vos réponses !

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : isométrie 27-12-21 à 21:31

C'est noté Sylvieg

En fait je tiens à bien rédiger mes corrections sur l'île pour deux raisons principales :

1 les archives de ces exercices corrigés me servent de matière pour les td et ds que je donne à mes élèves.

2 un élève de l'île pourra y trouver une solution possible d'un exercice qu'il trouve difficile.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : isométrie 28-12-21 à 00:31

Citation :
pour les éléments caractéristiques, c'est le noyau et l'image ?


comme tu as vu la partie linéaire \vec f de f est une rotation de l'espace euclidien \mathbb R^3
et les éléments caractéristiques d'une rotation de l'espace sont son axe et son angle.


Citation :
pour les points fixes, je résous f(x,y,z) = (x,y,z) ?


3. Oui, et tu t'apercevras que le système obtenu est incompatible ce qui veut dire que f est sans point fixe.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : isométrie 28-12-21 à 08:17

Bonjour,
@elhor_abdelali,
D'accord avec ton argument 2.
C'est frustrant d'avoir des sujets qui se terminent en "eau de boudin".
Mais je pense qu'il y a un juste milieu possible.

Bonne continuation sur l'île à tous les deux



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