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isométrie
Bonjour à toutes et à tous !
Exo : on considère E = muni du repère orthonormé canonique
Soit f :
1. Montrer que f est une isométrie affine
2.Déterminer la nature géométrique et les éléments caractéristiques de f, la partie linéaire de f
3.Déterminer les points fixes de f
4.En déduire la nature de f
Merci pour vos suggestions et ça me fera plaisir si je pourrais avoir une leçon sur les isométries, s'il vous plaît !
Bonsoir 
1. l'expression de montre clairement que
et que pour tout point de
on a
l'application étant clairement linéaire (endomorphisme de
)
il s'en suit que f est un endomorphisme affine de l'espace affine .
est alors une isométrie affine si et seulement si
est une isométrie vectorielle de l'espace euclidien
.
Et comme la matrice de dans la base orthonormée canonique
de
est clairement orthogonale, on voit que est bien une isométrie affine de
.
Merci beaucoup Madame, j'ai bien compris cette partie
pour les éléments caractéristiques, c'est le noyau et l'image ?
pour les points fixes, je résous f(x,y,z) = (x,y,z)
Pour la nature géométrique, puisque la matrice de f n'est symétrique et que son determinant vaille 1, j'en déduis que c'est une rotation
2. il me semble que dans cette question on demande la nature géométrique et les éléments caractéristiques de (a partie linéaire de
).
on a clairement et un petit calcul donne
est donc la rotation vectorielle d'axe
en résolvant le système on trouve
l'angle de la rotation vectorielle
vérifie
et donc
d'où .
Pour trancher du signe de on oriente
par l'un de ses vecteurs directeurs unitaires
si par exemple est orienté par
le signe de
est celui de
où est un vecteur directeur quelconque du plan
si on prend par exemple on a
d'où le déterminant
l'angle est donc
sauf erreur bien entendu
Bonjour à tous les deux,
@elhor_abdelali,
Et si tu proposais à Tiantio des pistes sans donner les réponses ?
Il me semble que ce serait plus dans l'esprit de l'île
C'est noté Sylvieg 
En fait je tiens à bien rédiger mes corrections sur l'île pour deux raisons principales :
1 les archives de ces exercices corrigés me servent de matière pour les td et ds que je donne à mes élèves.
2 un élève de l'île pourra y trouver une solution possible d'un exercice qu'il trouve difficile.
pour les éléments caractéristiques, c'est le noyau et l'image ?
comme tu as vu la partie linéaire
et les éléments caractéristiques d'une rotation de l'espace sont son axe et son angle.
pour les points fixes, je résous f(x,y,z) = (x,y,z) ?
3. Oui, et tu t'apercevras que le système obtenu est incompatible ce qui veut dire que
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