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Isométrie et Ker

Posté par
scoatarin 27-04-17 à 16:27

Bonjour,

L'exercice suivant m'a été proposé lors d'un contrôle continu récent et j'ai besoin d'aide pour essayer de le terminer.

Voici l'énoncé :

Montrer que la matrice réelle suivante est orthogonale puis déterminer les caractéristiques géométriques de l'isométrie correspondante :

                                                        D = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 1 &8 &-4 \\ 4&-4 &-7 \\ 8 &1 &4 \end{pmatrix}

J'ai trouvé :

Dét (D) =   -1 et  = arccos (5/9) au signe prés.
donc D est une rotation gauche de droite (d).

On cherche Ker (D+I3).

                         (D + I3)  X  =  0

             \begin{pmatrix} 10 &8 &-4 \\ 4 &5 &-7 \\ 8 & 1 &13 \end{pmatrix}  X  =  0

    \left\lbrace\begin{matrix} 10x &+8y &-4z &= &0 \\ 4x &+5y &-7z &= &0 \\ 8x &+y &+13z &= &0 \end{matrix}\right.

et là je ne comprends pas comment continuer

Merci de m'aider.

Posté par
Camélia Correcteurre : Isométrie et Ker 27-04-17 à 16:37

Bonjour

C'est un brave système! Qu'est-ce qui te gêne? Par élimination ou par substitution, comme tu veux!

Posté par
scoatarinre : Isométrie et Ker 27-04-17 à 17:58

\left\lbrace\begin{matrix} 10x +8y -4z = 0 \\ 4x +5y -7z = 0 \\ 8x +y +13z = 0 \end{matrix}


\left\lbrace\begin{matrix} 10x +8y -4z = 0 \\ 4x +5y -7z = 0 \\ 8x +y +13z = 0 \end{matrix}

ligne 1 - ligne 2

\left\lbrace\begin{matrix} x -y +5z  = 0 \\ 4x +5y -7z  = 0 \\ 8x +y +13z  = 0 \end{matrix}


\left\lbrace\begin{matrix} x =y - 5z \\ 4 (y - 5z)+ 5y -7z = 0 \\ 8( y - 5z) +y +13z  = 0 \end{matrix}


\left\lbrace\begin{matrix} x = y - 5z \\ 9y - 27z = 0 \\  9y - 27z = 0 \end{matrix}


\left\lbrace\begin{matrix} x = y - 5z \\ y  = 3z \end{matrix}


\left\lbrace\begin{matrix} x = - 2z \\ y  = 3z \\ z  = z\end{matrix}


On peut choisir z = 1.
Alors, un vecteur directeur de l'axe d est (-2,3,1) .

Est-ce exact ?

Posté par
carpediemre : Isométrie et Ker 27-04-17 à 18:08

matrices

Posté par
ThierryPomare : Isométrie et Ker 27-04-17 à 18:16

Bonsoir,

Du boulot : Comment as-tu montré que la matrice est orthogonale ?

Posté par
scoatarinre : Isométrie et Ker 27-04-17 à 18:43

Bonjour ThierryPoma !

j'ai montré que la matrice D est orthogonale  en prouvant chaque vecteur-colonne de la matrice D est de norme égale à 1 et que les produits scalaires des vecteurs-colonnes sont 2 à 2 égaux à 0.    

Posté par
scoatarinre : Isométrie et Ker 28-04-17 à 09:54

Bonjour à tous,

Vérification faite, je ne vois pas d'erreur.

Merci de me dire si vous voyez une erreur ou non

Posté par
scoatarinre : Isométrie et Ker 30-04-17 à 15:20

ThierryPoma @ 27-04-2017 à 18:16

Bonsoir,

Du boulot : Comment as-tu montré que la matrice est orthogonale ?


Bonjour ThierryPoma,

J'ai répondu à ta question et te remercie de bien vouloir me répondre aussi

Posté par
ThierryPomare : Isométrie et Ker 30-04-17 à 15:23

Bonjour,

C'est ok pour moi. Désolé.

Posté par
ThierryPomare : Isométrie et Ker 30-04-17 à 15:24

Attention, tu trouve bien \det\,D=-1 ? C'est cela ? Quelle est donc la nature de l'isométrie ?

Posté par
scoatarinre : Isométrie et Ker 30-04-17 à 15:37

ThierryPoma @ 30-04-2017 à 15:24

Attention, tu trouve bien \det\,D=-1 ? C'est cela ? Quelle est donc la nature de l'isométrie ?


Je trouve bien bien D = -1 et l' isométrie est une rotation gauche d'axe orienté
par  (-2,3,1) et d'angle   = arccos (5/9) au signe prés.

Il reste, bien sûr, à déterminer le signe de sin   pour en déduire
le signe de l'angle de rotation .

Posté par
ThierryPomare : Isométrie et Ker 30-04-17 à 15:40

Qu'est-ce qu'une rotation gauche ?

Posté par
scoatarinre : Isométrie et Ker 30-04-17 à 16:04

D'après mon cours:

Si A O-(3), alors A =- I3 ou D = Ker(A+I3) est de dimension 1 et A est une rotation d'axe D.

Voilà tout ce que je sais .

Posté par
ThierryPomare : Isométrie et Ker 30-04-17 à 16:37

Cf. ceci

Posté par
scoatarinre : Isométrie et Ker 30-04-17 à 17:24

Merci, d'après ce document, je comprends qu'une rotation gauche est telle que:

f est la composée commutative d'une une rotation d'angle θ≠0[ π] et d'axe orienté par le vecteur unitaire e1 ∈ E−1( f ) et d'une réflexion par rapport ( vect( e1))⊥.

Néanmoins, je ne comprends pas d'où vient le qualificatif de "rotation gauche"  utilisé
dans mon polycopié de cours de L2  

Est-ce que tu le sais ?

Posté par
ThierryPomare : Isométrie et Ker 30-04-17 à 17:27

Citation :
Néanmoins, je ne comprends pas d'où vient le qualificatif de "rotation gauche"  utilisé
dans mon polycopié de cours de L2  

Est-ce que tu le sais ?


Pas du tout ! Désolé. Encore un changement d'étiquette inutile.

Citation :
f est la composée commutative d'une une rotation d'angle θ≠0[ π] et d'axe orienté par le vecteur unitaire e1 ∈ E−1( f ) et d'une réflexion par rapport ( vect( e1))⊥.


Pourquoi affirmer cela ?

Posté par
scoatarinre : Isométrie et Ker 30-04-17 à 17:53

Car dans le cas étudié dans cet exercice, on est dans le cas général d'un angle de rotation t différent de 0, sinon on aurait une symétrie orthogonale par rapport à un plan. Ce sont les deux cas de figure possibles quand A O-(3).

  

Posté par
ThierryPomare : Isométrie et Ker 30-04-17 à 17:59

Peux-tu m'envoyer par mail ton cours, s'il te plait ?

Posté par
scoatarinre : Isométrie et Ker 30-04-17 à 18:24

ThierryPoma @ 30-04-2017 à 17:59

Peux-tu m'envoyer par mail ton cours, s'il te plait ?


Je viens de t'envoyer mon cours par mail.

Posté par
ThierryPomare : Isométrie et Ker 30-04-17 à 18:35

Merci. Peux-tu étudier ce qu'il y a à partir de la page 33 du dit polycopié, sous-titre 2ème cas ? La définition d'une rotation gauche est donnée page 34.

Posté par
scoatarinre : Isométrie et Ker 30-04-17 à 18:59

Merci, j'ai étudié les pages 33 et 34.

Page 34 , je ne comprends pas la première ligne suivie d'une égalité matricielle :

Dans le cas général, (i.e 0), on voit que ...  

Ensuite, j'ai bien vue la définition d'une rotation gauche.  

Posté par
ThierryPomare : Isométrie et Ker 01-05-17 à 08:43

Bonjour,

L'on sait que

\mbox{Mat}_{\left(f_1,\,f_2,\,f_3\right)}(u)=\left(\begin{array}{rrrrr}\cos\,\theta&-\sin\,\theta&0\\\sin\,\theta&\cos\,\theta&0\\0&0&-1\\\end{array}\right)\text{ et }\mbox{Mat}_{\left(f_1,\,f_2,\,f_3\right)}(\sigma_P)=\left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{array}\right)

Partant,

\mbox{Mat}_{\left(f_1,\,f_2,\,f_3\right)}(\sigma_P\circ{u})=\mbox{Mat}_{\left(f_1,\,f_2,\,f_3\right)}(\sigma_P)\times\mbox{Mat}_{\left(f_1,\,f_2,\,f_3\right)}(u)=\left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{rrrrr}\cos\,\theta&-\sin\,\theta&0\\\sin\,\theta&\cos\,\theta&0\\0&0&-1\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrrr}\cos\,\theta&-\sin\,\theta&0\\\sin\,\theta&\cos\,\theta&0\\0&0&1\\\end{array}\right)

comme attendu.

Posté par
ThierryPomare : Isométrie et Ker 01-05-17 à 08:57

Précisions : Il s'agit de la matrice dans la base orthonormée directe (f_1,\,f_2,\,f_3) d'une rotation r_{D,\,\theta} d'axe D=\ker\,(A+I_3)=\R\,f_3 et d'angle de mesure \theta modulo 2\,\pi. Ainsi obtient-on que u=\sigma_P\circ{r_{D,\,\theta}}.

Posté par
scoatarinre : Isométrie et Ker 01-05-17 à 13:43

Bonjour,

Merci bien pour toutes ces précisions, ThierryPoma.

Je pense avoir compris  l'essentiel sur la notion de rotation gauche.

Sauf si tu as une autre question, je vais passé à une révision d'exercice d'examen de l'année dernière sur les formes quadratiques.

Posté par
ThierryPomare : Isométrie et Ker 01-05-17 à 13:49

Je n'ai plus de question, mon seigneur. Tu peux poursuivre et n'hésite pas à revenir si besoin est.

Bon travail !


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