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Isométrie vectorielle de R3
Bonjour à tous !
J'ai un petit souci avec l'exercice suivant:
Montrer que la matrice réelle suivante est orthogonale puis déterminer les caractéristiques géométriques de l'isométrie correspondante.
D =
.
J'ai montré que D est orthogonale et que dét D = -1.
La matrice D 
O-(3) et la droite D= Ker(D + I3) est de dimension 1 et la matrice D est une rotation gauche d'axe D.
cos 
= donc
= 
arccos (5/9).
L'axe D est déterminé par Ker (D + I3).
D + I3 =
Donc, on doit résoudre le système d'équations suivant :
.
Et ma question est : Comme on sait que la solution de ce système est une droite vectorielle ( donc dim = 1) 1, peux-t-on dire qu'on choisit z=1 ?
bonjour
qu'est ce que tu appelles une "rotation gauche" ???
si c'est une isométrie négative, je vois mal comment cela pourrait être une rotation.
d'autre part ta droite Ker(D+I) n'est pas un ensemble d'invariants. (évite de l'appeler aussi D)
Bonjour
que veux-tu qu'un autre intervenant te dise d'autre que ce que matheuxmatou t'a déjà dit ?
tu as vérifié que D est une matrice orthogonale : OK
son déterminant est -1 : pourquoi pas
Tu en es à déterminer Ker(D+I) : la matrice D+I est clairement pas de rang 1, son noyau n'est donc pas de dimension 2, ce sera une droite vectorielle, dont tous les vecteurs sont donc colinéaires. rien ne t'empêche de choisir comme base de ce noyau un vecteur dont une des coordonnées est fixée à 1, en effet (au pire, si tu ton noyau était inclus dans le plan d'équation z=0, tu t'en rendrais compte en essayant de résoudre le système obtenu en fixant z=1, et il serait toujours temps de changer pour fixer x ou y égal à 1 au lieu de z)
Mais l'interprétation que tu fais de ce noyau est fantaisiste, comme te l'a dit MM...
Bonjour,
Si je remplace l'expression de mon polycopié "rotation gauche" par l'expression "retournement d'axe", mon interprétation que je fais de ce noyau est-elle toujours fantaisiste ?
Merci de ta réponse, mais comme je ne comprends pas, j'aimerai avoir l'avis d'un autre intervenant.
sympa !
tu veux parler d'une rotation d'angle
? mais c'est une isométrie positive, donc de déterminant 1 !Un autre intervenant: si au lieu de dire "je ne comprends pas" tu disais avec précision ce que tu ne comprends pas ?
Je ne comprends pas pourquoi on me dit que le déterminant de la matrice A suivante est positif alors que le calculateur de matrice Wims dit:
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Calculatrice de matrices
A=⎛⎝⎜⎜1488−41−4−74⎞⎠⎟⎟
rang(A) = 3
det(A) = -729
trace(A) = 1
La matrice n'est pas symétrique.
je ne sais pas si tu lis bien les messages !
je ne t'ai jamais dit que D avait un déterminant positif !!!! ce déterminant vaut bien (-1)
ce que je te dis c'est que ça ne peut pas être une rotation puisque si c'était le cas son déterminant vaudrait 1
c'est mon tour de ne rien comprendre à ce que tu dis !
de quelle matrice A tu parles ?????
Excuse moi svp, je parle de la matrice A suivante :
A =
B =
est orthogonale et dét B = -1.
La matrice B
O-(3) et la droite D= Ker(B + I3) est de dimension 1 et la matrice B est une ...., et là, je ne sais plus 
La nature d'une isométrie est déterminée par la recherche des vecteurs invariants, c'est à dire ker(D-I). As-tu fait cette recherche ?
bon il est parti ...
bref
Thm : une isométrie négative de 
3 est la composée d'une rotation et d'une réflexion orthogonale dont l'axe est l'axe de la rotation
1 : comment sont transformés les vecteurs de cet axe ?
2 : donc cet axe est le noyau de ...
3 : déterminer un vecteur directeur u de cet axe
4 : déterminer un vecteur v orthogonal à cet axe
5 : transformer v
6 : déterminer l'angle entre v et son transformé
7 : conclure
précisons quand même :
Thm : une isométrie vectorielle négative de
3 est la composée d'une rotation et d'une réflexion orthogonale dont l'axe est l'axe de la rotation
tu as un cours sur les isométrie ?
que sait-on des isométries négatives ?
Oui, j'ai un cours sur les isométries et le cours dit :
Théorème 2.4.18 (Classification des éléments de O(3)). — On a O(3) = SO(3) ∪ O−(3) (réunion disjointe).
...
(2) Si A ∈ O−(3), alors A = −I3 ou bien D = Ker(A + I3) est de dimension 1 et A est une rotation gauche d'axe D. Dans le second cas, l'angle de rotation θ est déterminé au signe près par l' égalité 2 cos(θ) = Tr(A) + 1. Pour fixer le signe, on choisit un générateur v3 de D, ce qui détermine une orientation du plan P = D⊥. ...
je n'ai jamais entendu parler de "rotation gauche" ... mais bon soit, il doit s'agir de ce que je dis dans mon théorème pré-cité
Je savais bien qu'on allez y arriver à la fin.
Merci bien pour toutes ces explications fort utiles 
Bonne journée à tous 
je n'ai jamais entendu parler de "rotation gauche" ... mais bon soit, il doit s'agir de ce que je dis dans mon théorème pré-cité
Le qualificatif "gauche" est une ancienne formulation de géométrie dans l'espace. "Courbe gauche" signifie courbe dans l'espace par opposition à "courbe plane", les expressions "surface gauche", "rotation gauche" (par opposition donc à courbe plane et rotation plane) ont été utilisées dans le même contexte. Ces expressions sont devenues obsolètes avec l'évolution de la géométrie. Le cours de scoatarin ne date probablement pas de la dernière pluie, ou alors l'enseignement consulté conserve des traditions du XIX ème siècle.
Bonjour
là il ne s'agit clairement pas d'une rotation dans l'espace (le déterminant ne serait pas -1)
la signification "gauche" pour "non plan" (comme quand on parle de dégauchisseuse en outillage ...) n'est donc pas la bonne explication ici
Bonjour
là il ne s'agit clairement pas d'une rotation dans l'espace (le déterminant ne serait pas -1)
la signification "gauche" pour "non plan" (comme quand on parle de dégauchisseuse en outillage ...) n'est donc pas la bonne explication ici
Tu as raison. Néanmoins le contexte de l'utilisation de ce qualificatif reste, je pense.
je connais les "courbes gauches", de même que les "tourne-à-gauche" (outils pour tenir la filière afin de faire un pas de vis), ainsi que "l'extrême gauche"... mais pas les rotations gauches... ce qui à mon avis est un terme totalement impropre... !
je connais les "courbes gauches", de même que les "tourne-à-gauche" (outils pour tenir la filière afin de faire un pas de vis), ainsi que "l'extrême gauche"... mais pas les rotations gauches... ce qui à mon avis est un terme totalement impropre... !
Disons en tout cas désuet ...
Et en ce qui concerne les termes impropres, les mathématiques n'en manquent pas ...
Le terme "rotation gauche" est dans le cours polycopié 2M271 de L2 mathématiques de l'université UPMC pour 2017-2018.
Si vous souhaitez, j'ai des noms 
Le terme "rotation gauche" est dans le cours polycopié 2M271 de L2 mathématiques de l'université UPMC pour 2017-2018.
Si vous souhaitez, j'ai des noms
Et aussi l'âge du capitaine ...
incroyable ! remarque dans des poly de fac de pharma, j'ai encore vu récemment de "Log"... notation abandonnée de puis 1983 !
Pour vérifier on n'a qu'à construire une base orthonormée de R^3, par exemple v1 et v2 dans le plan de la supposée rotation, orthogonal à la droite D, et v3 dans D, puis a faire le changement de base B=P^-1 A P, et on vérifie que B ressemble bien à la composée d'une rotation et d'une réflexion.
Avec Maple j'obtiens:
En haut à gauche dans la partie 2x2 c'est bien une rotation d'angle arccos(5/9) et le -1 indique bien une réflexion par rapport au plan de la rotation.
Bonjour,
Je reviens sur cet exercice que je n'avais pas terminé.
J'aimerai savoir si ce que j'ai fait est correct :
Cherchons une combinaison linéaire des colonnes telle que : a C1 + b C2 + c C3 = 0
On trouve (assez facilement) que 2 e1 - 3 e2 - 4 e3 convient.
Donc la droite de rotation 
est dirigée et orientée par le vecteur f = (2, -3, -4).
Exact ?
Bonjour,
Une petite correction :
J'aimerai savoir si ce que j'ai fait est correct :
Cherchons une combinaison linéaire des colonnes telle que : a C1 + b C2 + c C3 = 0
Sauf erreur, on trouve : 2 e1 - 3 e2 - e3 = 0.
Cette équation est l'équation de la droite de rotation .
Donc la droite de rotation est dirigée et orientée par le vecteur f = (2, -3, -1).
Merci de me dire si c'est juste.
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