Comment justifier que( Z/2Z)^2 est isomorphe à <(0,4),(1,0)>(groupe engendre par ces deux éléments) tel que (1,0) et (0,4) appartiennent à Z/2Z x Z/8Z ?
Est-ce que dire que <(0,4),(1,0)> contient 3 éléments d'ordre 2 et un élément d'ordre 1 tout comme ( Z/2Z)^2 et qu'ils ont même cardinal suffit à dire qu'ils sont isomorphes ?
Bonjour
En général avoir le même nombre d'éléments de chaque ordre ne suffit pas à conclure à l'isomorphisme.
Dans ce cas particulier, pas de problème. Il n'existe que deux "modèles" de groupe d'ordre 4: le cyclique et , connu sous le nom de "groupe de Klein".
Donc il serait plus judicieux de dire qu'il ne peut pas être isomorphe à (Z/4Z) car les éléments n'ont pas le meme ordre donc comme il n'y a que deux groupes "modèles" d'ordre 4 alors <(1,0),(0,4)> est isomorphe à (Z/2Z)^2.
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