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Niveau Licence Maths 1e ann
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Isomorphisme

Posté par
didv
05-12-21 à 16:29

Comment justifier que( Z/2Z)^2 est isomorphe à <(0,4),(1,0)>(groupe engendre par ces deux éléments) tel que (1,0) et (0,4) appartiennent à Z/2Z x Z/8Z ?
Est-ce que dire que <(0,4),(1,0)> contient 3 éléments d'ordre 2 et un élément d'ordre 1 tout comme ( Z/2Z)^2 et qu'ils ont même cardinal suffit à dire qu'ils sont isomorphes ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Isomorphisme 05-12-21 à 16:42

Bonjour

En général avoir le même nombre d'éléments de chaque ordre ne suffit pas à conclure à l'isomorphisme.
Dans ce cas particulier, pas de problème. Il n'existe que deux "modèles" de groupe d'ordre 4: le cyclique et (\Z/2\Z)^2, connu sous le nom de "groupe de Klein".

Posté par
didv
re : Isomorphisme 05-12-21 à 18:02

Donc il serait plus judicieux de dire qu'il ne peut pas être isomorphe à (Z/4Z) car les éléments n'ont pas le meme ordre donc comme il n'y a que deux groupes "modèles" d'ordre 4 alors <(1,0),(0,4)> est isomorphe à (Z/2Z)^2.

Posté par
GBZM
re : Isomorphisme 06-12-21 à 14:23

Bonjour,

On peut aussi remarquer que le groupe est \Z/2\Z\times 4\Z/8\Z et que 4\Z/8\Z est isomorphe à \Z/2\Z.



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