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Isomorphisme de [smb]R[/smb][sub]n-1[/sub] [X] (legendre)

Posté par mathsx (invité) 25-01-06 à 01:34

Bonjour j'ai Uun problème pour résoudre cet exercice

On :  n-1 [X]    n
                     p   (P(a1),...,P(an)

                               avec a1, a2 , an réels distinsts 2 à 2.

Montrer que est un isomorphisme de n-1 [X]    n

(g commencé à chercher du côté de l'injectivité de phi, qui est vraie mais impossible de trouver la surjuectivité)
Merci.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Isomorphisme de [smb]R[/smb][sub]n-1[/sub] [X] (legendre) 25-01-06 à 08:48

Surjectivité.

Une piste...
Soit (b_1, ..., b_n) un élément de \mathbb{R}^n.
On cherche P tel que P(a_1)=b_1, ..., P(a_n)=b_n

Regarde :
P(X) = b_1\frac{\Bigprod_{1\le i\le n\\i\neq 1} X-a_i}{\Bigprod_{1\le i\le n\\i\neq 1} a_1-a_i} + b_2\frac{\Bigprod_{1\le i\le n\\i\neq 2} X-a_i}{\Bigprod_{1\le i\le n\\i\neq 2} a_2-a_i} + ... + b_n\frac{\Bigprod_{1\le i\le n\\i\neq n} X-a_i}{\Bigprod_{1\le i\le n\\i\neq n} a_n-a_i}

P est de degré n-1 et on a bien P(a_1)=b_1, ..., P(a_n)=b_n

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par aicko (invité)re : Isomorphisme de [smb]R[/smb][sub]n-1[/sub] [X] (legendre) 25-01-06 à 11:03

bonjour
il faut montrer que phi est bien definie et lineaire....
de plus montre que Kerphi est le polynome nul( car n racines distinctes et deg Pn-1)
donc phi est injective car son noyau est reduit au polynome nul
et nous somme en dimension finie dc elle est bijective
ou encore avec le theoreme du rang

dim ker(phi)+dim(Im(phi)=dim(R_{n-1})
0+dim(Im(phi)=n
donc dim Im(phi)=n=dim (R^n)
or Im(phi) inclus ds R^n donc phi surjective
dc phi isomorphisme

Posté par mathsx (invité)re : Isomorphisme de [smb]R[/smb][sub]n-1[/sub] [X] (legendre) 25-01-06 à 23:31

merci à vous!!!


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