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Isomorphismes

Posté par
Theo92 18-10-18 à 07:36

Bonjour.

Je vous remercie par avance pour votre aide et vos commentaires.

J'ai montré que  G=\{ f_{a,b} \mid (a,b) \in \mathbb{C^*} \times \mathbb{C} \}  pour  f_{a,b} : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}   z \longmapsto  az + b , muni de la composition, est un groupe.

On demande les conditions sur a et b pour que   f_{a,b}  soit d'ordre fini.
On a  f_{1,0} le neutre, d'ordre 1.
Et je trouve  f o f = f_{a^2,ab+b} d'où   f_{-1,b} d'ordre 2.
Est-ce que ce sont les seuls éléments d'ordre fini ?

Avec T=\{ f_{1,b} \mid b \in \mathbb{C} \},  je ne parviens pas à montrer que le quotient G / T  est isomorphe à  \mathbb{(C^*, \times)} .

Ni comment montrer que le groupe G est isomorphe (ou pas?) au produit cartésien \mathbb{(C, +)} \times \mathbb{(C^*, \times)}

Bonne journée à tous.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Isomorphismes 18-10-18 à 08:06

Bonjour,
Que penses-tu de fi,0 ?

Posté par
luzakre : Isomorphismes 18-10-18 à 08:57

Bonjour !
Pourquoi t'arrêter à f^2 ? Fais le calcul général de l'itérée d'ordre p

Posté par
matheuxmatoure : Isomorphismes 18-10-18 à 09:55

bonjour

déjà f² me semble faux !

et f-1;b avec b non nul n'est pas du tout d'ordre 2 !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Isomorphismes 18-10-18 à 10:17

Bonjour matheuxmatou,
Calcul de fof(z) :
fof(z) = f(f(z)) = af(z) + b = a(az+b) + b = a2z + ab + b

Et avec a = -1 , on trouve bien z !

Posté par
matheuxmatoure : Isomorphismes 18-10-18 à 10:27

Sylvieg

ouh là ! je suis pas réveillé ! je vais reprendre un café... fort !

toutes mes excuses !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Isomorphismes 18-10-18 à 10:29

Et j'aurais pu écrire : Que penses-tu de fi,b ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Isomorphismes 18-10-18 à 10:33

On s'est croisé
Je ne voulais pas laisser Theo92 chercher une erreur qu'il ne faisait pas...
Bon café ! Pour moi, ça va être mon heure du café de mi-matin.

Posté par
matheuxmatoure : Isomorphismes 18-10-18 à 10:54

oui, tu as eu entièrement raison Sylvieg... merci pour lui

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Isomorphismes 18-10-18 à 11:04

Je continue à critiquer
@luzak,
Je pense que "le calcul général de l'itérée d'ordre p" n'est pas complétement utile :
Le calcul du coefficient de z dans l'itérée suffit. Et il est très simple !

Posté par
luzakre : Isomorphismes 18-10-18 à 11:27

Bonjour !
D'abord montrer que (T,\circ) est un groupe comutatif isomorphe à (\C,+)
Puis chercher quand f_{a,b},\;f_{a',b'} définissent la même classe modulo T.
En utilisant le représentant privilégié f_{a,0} de la classe modulo T de f_{a,b} tu devrais obtenir l'isomorphisme cherché.

Posté par
Theo92re : Isomorphismes 18-10-18 à 11:31

Rebonjour.
Merci beaucoup pour votre aide matinale. J'espère que le petit déjeuner a été agréable.

Après calculs (dans \mathbb{C} ...) :
f^2  donne  a^2 \mid ab + b  d'où  f_{-1,b}   convient,

f^3  donne  a^3 \mid a^2b + ab + b  d'où seul  f_{1,0}   le neutre convient,

f^4  donne a^4 \mid a^3b + a^2b + ab + b  d'où  f_{i,b}   et   f_{-i,b}   conviennent. Je crois que c'est tout.

Je vois que  le sous-groupe T est isomorphe à  \mathbb{(C,+)}, mais des soucis pour le quotient G/T et le produit cartésien.

merci pour vos pistes.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Isomorphismes 18-10-18 à 13:40

Merci pour le souhait sur le petit déjeuner. Le déjeuner aussi a été agréable
J'espère qu'il en est de même pour tous les participants à ce topic.

Une remarque qui peut être utile pour trouver des conditions sur a et b :
fn donne an | b' .
D'où une condition nécessaire : an = 1 .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Isomorphismes 18-10-18 à 14:03

Citation :
Je crois que c'est tout
Oui pour f4 neutre. Non pour n quelconque.
Par exemple, on peut trouver des f avec f2018 neutre.

Je me suis sans doute trompée en écrivant ceci:
Citation :
Le calcul du coefficient de z dans l'itérée suffit.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Isomorphismes 18-10-18 à 14:11

En fait, je ne suis pas d'accord non plus avec ceci :

Citation :
f^3 donne a^3 \mid a^2b + ab + b d'où seul f_{1,0} le neutre convient,

Posté par
luzakre : Isomorphismes 18-10-18 à 15:00

Bonjour Sylvieg !
Oui il me semble que le calcul complet (f_{a,b})^n=f_{a^n,b(n)} est indispensable pour conclure.

@Theo92 :
Pour le calcul de b(n) tu devras faire une récurrence ! Et attention au calcul de la somme des termes d'une suite géométrique.

Pour le groupe quotient, il est indispensable que tu trouves la relation d'équivalence (modulo T) entre les éléments de G et que tu choisisses un "représentant" de la classe de f_{a,b} (je t'ai déjà donné une indication).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Isomorphismes 18-10-18 à 18:19

D'accord luzak

@Theo92,
Quel est le nombre de solutions dans d'une équation de degré n ?
Combien y a -t-il de nombres complexes qui vérifient a3 = 1 ?

Posté par
carpediemre : Isomorphismes 18-10-18 à 20:22

salut

la composée de deux applications linéaires étant linéaires alors on a évidemment que pour b = 0  : f(z) = az => f^n(z) = a^nz ...

de plus si f(z) = az et g(z) = bz alors f o f(z) = g o f(z) = abz ... ce qui justifie l'isomorphisme de T avec C* ...

Posté par
luzakre : Isomorphismes 19-10-18 à 05:10

Non, erreur, ce n'est pas T que tu manipules.
T est l'ensemble des translations f_{1,b} et isomorphe au groupe additif des complexes !

Les f_{a,0} forment le groupe des similitudes de centre O isomorphe au groupe multiplicatif des complexes non  nuls.

Mais la question concerne le quotient G/T puis le groupe G.

Posté par
Theo92re : Isomorphismes 19-10-18 à 13:06

Bonjour à tous.
Merci beaucoup pour tous le temps et vos conseils.

J'ai saisi la démarche, mais je bute sur un point fondamental. je ne parviens pas à déterminer le morphisme de groupe  \phi  entre  (G,o)   et  \mathbb{(C,+)}.

Je sais que l'on doit avoir  \phi(f_{a,b}  o  g_{c,d}) = \phi(f_{a,b}) + \phi(g_{c,d}) et que  \phi  doit faire correspondre la partie linéaire.

Dans ce cas,  \phi(f_{a,b} (z)) = az+b    ou  \phi(f_{a,b} (z)) = az   ou bien  \phi(f_{a,b} (z)) = b ?

Merci pour votre réponse.

Posté par
luzakre : Isomorphismes 19-10-18 à 13:25

Mais on ne te demande pas ça !
Tu dois chercher un isomorphisme entre (G,\circ) et le produit (\C,+)\times(\C^*,x)
Tu devrais essayer l'application : f_{a,b}\mapsto(f_{0,b},f_{a,0}) et définir correctement la loi du groupe produit.

Posté par
Theo92re : Isomorphismes 19-10-18 à 13:32

Merci luzak, pour la dernière question.
Je me suis mal exprimé, je bute sur l'isomorphisme pour montrer que  (T,o)  est distingue dans G, soit le noyau de cet isomorphisme, que je ne trouve pas;

Posté par
Theo92re : Isomorphismes 19-10-18 à 13:41

Pour démontrer que  (T,o)  est distingué dans G, donc noyau de l'isomorphisme  \phi,  est-ce que  \phi : f_{a,b} \mapsto f_{a,0}  ou   \phi : f_{a,b} \mapsto f_{0,b} ?

Posté par
luzakre : Isomorphismes 19-10-18 à 14:18

Question à laquelle tu peux répondre seul : il suffit d'essayer !
Puisque tu veux que \phi(f_{a,b})=f_{1,0} implique f_{a,b}\in T.

Ceci dit tu peux montrer qu'un sous-groupe est distingué sans le besoin de deviner un morphisme dont il serait le noyau !

Posté par
Theo92re : Isomorphismes 19-10-18 à 15:06

Si je prends  \phi : (G,o) \longrightarrow \mathbb{(C,+)}  f_{a,b} \mapsto f_{a,0} ,  on a bien  \phi(f_{a,b}  o  g_{c,d}) = \phi(ac, ad+b) = (ac,0)   qui est surjectif et dont les  f_{1,b}  constituent le noyau.

Si cela est exact, ce que je ne comprends pas, c'est que pour que ce soit un morphisme de groupe sur  \mathbb{(C,+)} , il faut que  \phi(f_{a,b}  o  g_{c,d}) = \phi(f_{a,b}) + \phi(g_{c,d}) = a+c  et non  ac  ????

Posté par
carpediemre : Isomorphismes 19-10-18 à 15:31

luzak : oui tu as raison c'est évidemment G/T à la place de T ...

Posté par
Theo92re : Isomorphismes 19-10-18 à 15:50

Je suis complètement embrouillé.

Quel est l'isomorphisme qui permet de montrer que le sous-groupe  T=\{f_{1,b} \mid b \in \Mathbb{C}\}
de  G = \{f_{a,b} = az + b \mid z \in \Mathbb{C}  et  (a,b) \in \Mathbb{C^* \times C}\}  est distingué dans G et isomorphe à  \Mathbb{(C,+)} , c'est à dire de montrer que T est le noyau de ce dit isomorphisme?

J'ai compris les principes, mais je ne trouve pas cette solution, qui me permettrait aussi sans doute de trouver seul les suivantes.

Merci encore pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Isomorphismes 19-10-18 à 15:59

il suffit de revenir aux définitions !!!

l'ensemble E = {f : z --> az} est isomorphe à (C*, *)

l'ensemble F = {f : z -- > z + b} est isomorphe à (C, +)

f(z) = az et g(z) = bz => f o g (z) = g o f(z) = ... ?

f(z) = z + a et g(z) = z + b => f o g (z) = g o f(z) = ... ?

Posté par
carpediemre : Isomorphismes 19-10-18 à 16:01

et tout élément de G s'écrit g o f avec f dans E et g dans F ... et aussi p o q avec p dans F et q dans E

Posté par
Camélia Correcteurre : Isomorphismes 19-10-18 à 16:11

Bonjour

J'espère ne pas faire plus de mal que de bien, mais une méthode très différente peut peut-être débloquer la situation.


Soit F:G\to M_{2,2}(\C) définie par F(a,b)=\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & 1\end{pmatrix}. Vérifier que c'est un morphisme injectif, donc l'ensemble des matrices de la forme ci-dessus est un groupe isomorphe à G. Dans ce groupe tout fonctionne facilement, puisqu'il suffit de multiplier des matrices!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Isomorphismes 19-10-18 à 17:33

Bonsoir,
Je pense aussi que, pour débloquer la situation, ce serait bien que Theo92 nous communique l'énoncé brut, sans les "J'ai montré" ou autres "On demande", "je ne parviens pas à montrer".
Et qu'il réponde aussi aux questions qu'on lui pose :

Citation :
@Theo92,
Quel est le nombre de solutions dans d'une équation de degré n ?
Combien y a -t-il de nombres complexes qui vérifient a3 = 1 ?

Posté par
luzakre : Isomorphismes 19-10-18 à 17:37

@Theo92 !
Mais enfin pourquoi veux-tu un morphisme qui arrive dans le groupe des complexes ? Et pourquoi veux-tu un isomorphisme ?
Tu cherches seulement un morphisme qui part de G, son ensemble d'arrivée est sans importance.

Par conséquent tu vérifies que \varphi : f_{a,b}\mapsto f_{a,0}
1. est un morphisme de groupes
2. que son noyau est T.

Et il vrai qu'il y a une question non posée, mais évidente, concernant l'isomorphisme de (T,\circ) et (\C,+) : la réponse à cette question est à mon avis sans nécessité. Ou alors tu n'as pas mis tout l'énoncé !
.......................................
Ensuite et seulement ensuite tu cherches un isomorphisme de G/T sur (\C^*,x) : je t'ai donné l'indication de trouver l'expression de la loi quotient !

...............................
Enfin et seulement enfin tu cherches un isomorphisme de (G,\circ) sur le  produit (\C,+)\times(\C^*,x) (en définissant correctement la loi de ce produit pour avoir un groupe qui t'arrange).

Les trois démonstrations se font facilement chacune à son tour !
Tu ne fais que compliquer en essayant de faire les trois à la fois !

Posté par
Theo92re : Isomorphismes 19-10-18 à 18:02

Merci à tous pour votre immense patience et votre aide précieuse.

@luzak la question est : montrer que le sous-groupe  T = \{f_{1,b} \mid b \in \mathbb{C}\}   est un sous-groupe distingué de G, isomorphe à  \mathbb{(C,+)} en exhibant un isomorphisme,  sans montrer que T est un sous-groupe de G.

Voilà pourquoi je cherche  ce  \phi  tel que  \phi(f_{a,b}  o  g_{c,d}) =phi(f_{a,b}) + phi(g_{c,d})     . Voir post de 15h06

Posté par
carpediemre : Isomorphismes 19-10-18 à 18:04

alors j'ai répondu à 15h59 ...

Posté par
carpediemre : Isomorphismes 19-10-18 à 18:05

et quand on part de T on ne s'emmerde pas avec a,b et c,d alors que c'est 1,b ...

Posté par
Theo92re : Isomorphismes 19-10-18 à 18:42

Ok, en effet.
En revoyant mes def, je peux aussi montrer que T est invariant par automorphisme intérieur ie  \forall  f_{a,b} \in G, \forall t_{1,b} \in T, ftf^{-1} \in T

Merci à tous.

Posté par
carpediemre : Isomorphismes 19-10-18 à 19:36

n'importe quoi ...

Theo92 @ 19-10-2018 à 18:42

Ok, en effet.
En revoyant mes def, je peux aussi montrer que T est invariant par automorphisme intérieur ie  \forall  f_{a,b} \in G, \forall t_{1,b} \in T, ftf^{-1} \in T

Merci à tous.
montre

Posté par
Theo92re : Isomorphismes 19-10-18 à 20:21

Pour répondre à votre post de 15h59,
F=T isomorphe à (C,+) est ce que je dois montrer. Je me sers de la proposition "Soit G et H deux groupes et f appartient à Hom(G,H), alors Ker(f) est un sous-groupe distingué".
Je n'ai pas saisi en dépit de votre aide quel pourrait être  cet homomorphisme entre (G,o) et (C,+) dont T= f_(1,b) serait le noyau.

Sinon, quelle que soit f_(a,b) dans G, quelle que soit t_(1,d) dans T,

(f_{a,b}  o  t_{1,d}  o  f^{-1}_{a}{b})(z) = f_{a,b}  o  (t_{1,d} (\frac{1}{a} z - \frac{b}{a}))=f_{a,b}((\frac{1}{a} z - \frac{b}{a}) + d) =a \times \frac{1}{a} z - a \times \frac{b}{a} + a \times d + b = z + ad \in T

Posté par
carpediemre : Isomorphismes 19-10-18 à 20:26

mais bon sang arrête de chercher des formules alambiquées et des théorèmes inutiles puisque

carpediem @ 19-10-2018 à 15:59

il suffit de revenir aux définitions !!!

l'ensemble E = {f : z --> az} est isomorphe à (C*, *) car f(z) = az et g(z) = bz => f o g (z) = g o f(z) = ... ?

l'ensemble F = {f : z -- > z + b} est isomorphe à (C, +) car f(z) = z + a et g(z) = z + b => f o g (z) = g o f(z) = ... ?

Posté par
Theo92re : Isomorphismes 19-10-18 à 20:50

Pour E, fog = abz  et pour F,  fog = z + a + b

Je suis désolé, mais je n'ai pas dans mon cours de définition permettant de relier l'isomorphie. Je n'ai que "ces formules et théorèmes...."

Posté par
carpediemre : Isomorphismes 19-10-18 à 21:07

mais bon sang il est trivial qu'à f et g de E alors tu associes à ab à f o g

et à f et g dans F tu associes a + b à f o g

Posté par
Theo92re : Isomorphismes 19-10-18 à 21:35

Je crois enfin.... avoir saisi.
L'isomorphisme est entre F et (C,+) puis entre E et (C*, x).
En tentant de rechercher un isomorphisme de G dans (C,+) dont F serait le noyau, j'ai fait cette confusion

Par exemple, pour F, on définit  \phi : (F,o) \longrightarrow (C,+) \mid  f_{1,b} \mapsto b  ;  ainsi on a bien  \phi (fog)(z) = \phi(z + a +b)= \phi(f)  +  \phi(g) = a+b \in C

Posté par
carpediemre : Isomorphismes 19-10-18 à 22:04

enfin !!!

Posté par
Theo92re : Isomorphismes 19-10-18 à 22:20

Merci de tout coeur.
Je vous souhaite à tous un bon week-end.

Posté par
carpediemre : Isomorphismes 20-10-18 à 07:46

merci et à toi aussi


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