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Isomorphismes Z/nZ

Posté par
marcelleK
30-12-20 à 21:00

Bonjour,

Les groupes suivants, sont-ils isomorphes ? Pourquoi ?

(a) (/3,+)x(/2,+)   et  (/6,+).

Oui, par le th. des restes  chinois car   6=2*3  et pgcd(3,2)=1  

(b)   ( (/4,+)x(/2,+)   et  (/8,+).  

Non, car contrairement au second groupe, qui est cyclique, le premier groupe ne l'est pas.


(c)  (/6,+)   et  (/7\{0},       .      )  

je ne sais pas


En vous remerciant : )

Posté par
verdurin
re : Isomorphismes Z/nZ 30-12-20 à 21:10

Bonsoir marcelleK et bonne année 2021.

Tes deux premières réponses sont justes ( sauf erreur de ma part ).

Pour la question c) tu peux écrire la table de ( Z/7Z, . )

Posté par
marcelleK
re : Isomorphismes Z/nZ 30-12-20 à 21:58

Bonsoir verdurin,   Bonne année 2021
Je te souhaite une bonne et douce année !

Posté par
marcelleK
re : Isomorphismes Z/nZ 30-12-20 à 22:03

(c)  

Dans le groupe (Z/7Z\{0}, . )
<1>={1}
<2>={1,2,4}
<3>={1,2,3,4,5,6}  générateur
<4>={1,2,4}
<5>={1,2,3,4,5,6} générateur
<6>={1,6}

Donc (Z/7Z\{0}, . ) est cyclique (fini et monogène) , ce groupe, comme tout groupe cyclique d'ordre n  est isomorphe à  (Z/n=6Z,+)         ?



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