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itegration et suites

Posté par
aya4545 28-02-22 à 14:21

bonjour merci  j ai besoin de votre soutien pour achever cet exercice  u_n =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\tan t)^{2n+2} dt

1) calculer u_0
2) montrer que (u_n) est décroissante
3) montrer que \forall n \in \N \quad u_{n+1}+u_n=\frac{1}{2n+3}
4) en deduire \forall n \in \N \quad \frac{1}{2(2n+3)}\le u_n \le \frac{1}{2(2n+1)} puis determiner \lim nu_n
5) on pose S_n=\sum\limits_{\substack{k=0 }}^{n}{\frac{(-1)^k}{2k+1}}
montrer que \forall n \in \N \quad S_n=\frac{\pi}{4}+(-1)^{n}u_n
6) en deduire la limite de S_n et de (\frac{S_n}{n}-\frac{\pi}{4n})lorsque n\to +\infty
\een
je n arrive pas a prouver l inegalitée de droite de 4) et la question 5) et merci

Posté par
Sylvieg Moderateurre : itegration et suites 28-02-22 à 14:46

Bonjour,
La suite (un) est décroissante ; donc un+1 un.
D'où un + un+1 2un.
Ce que tu as su utiliser à priori.

Mais un+1 un peut aussi s'écrire un un+1.
D'où un + un+1 ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : itegration et suites 28-02-22 à 14:49

Je ne vais plus être disponible avant ce soir.
Mais d'autres îliens pourront venir t'aider d'ici là.

Posté par
aya4545re : itegration et suites 28-02-22 à 15:14

merci Sylvieg

Posté par
larrechre : itegration et suites 28-02-22 à 15:40

Bonjour,

Pour la 5), tu peux remarquer que

\dfrac{(-1)^k}{2k+1}=  (-1)^k(u_k+u_{k-1})

Posté par
aya4545re : itegration et suites 28-02-22 à 16:40

merci larrech pour 5) je l ai fait par recurence
mais c est une bonne idée de remarquer que \dfrac{1}{2k+1}=  (u_k+u_{k-1}) une autre fois merci

Posté par
larrechre : itegration et suites 28-02-22 à 17:01

Ne pas oublier le (-1)^k ce qui conduit à une somme télescopique. (Pour plus d'infos, voir transformation d'Abel).

Posté par
aya4545re : itegration et suites 28-02-22 à 21:12

merci aya4545

Posté par
aya4545re : itegration et suites 28-02-22 à 21:13

mercilarrech


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