Bonjour
j'ai le dernier exercice a faire sur mon dm et je n'y arrive pas.Pourriez vous s'il vous plait me mettre sur la voie afin que je puisse le terminer.Merci d'avance

1/soit a et b deux nombres positifs tels que a<racine de 3<b
Montrer que 1+[2/(b+1)]<racine de 3<1+[2/(a+1)]

2/en déduire des encadrements de racine de 3 par des rationnels jusqu'a en obtenir un d'une amplitude inférieur a 10 puissance -3.

je vous remerci encor si vous pouvez y jetter un coup d'oeil.

Bonjour
voici mon énoncé:
1) soit a et b deux nombres positifs tels que a<V3<b
Monter que 1+[2/(b+1)]<V3<1+[2/(b+1)]

2)En déduire des encadrements de V3par des rationnels jusqu'a en obtenir un d'une amplitude inférieur a 10 puissance -3.

merci d'avance

*** message déplacé ***

Bonjour



Or :


Au final nous obtenons donc :



Jord

*** message déplacé ***

Je te fais un côté de l'inégalité et je te laisse l'autre, ok?

Il ne reste plus qu'à arranger le côté droite de l'inégalité en multipliant la fraction par . Je te laisse le faire et découvrir que ça vaut

*** message déplacé ***

2 minutes de retard. Et des couleurs en moins...

*** message déplacé ***

merci je vais enfin pouvoir finir mon dm!!
et bonne année!(meme si c'est un peu en avance)

*** message déplacé ***

Pas de probléme ganelle

Et Isisstruiss , ne nous plaignons pas , d'habitude c'est toujours moi qui arrive en retard !


Jord

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je vais enfin pouvoir passé une bonne fin d'année 2004!!

*** message déplacé ***

Bonjour,

tiens, tiens, j'ai déjà vu cet exercice dans un autre topic recemment...
Attention à ne pas créer plusieurs messages pour le même exercice.

Bon,

Première question :

d'abord, vous écrivez : Monter que 1+[2/(b+1)]<V3<1+[2/(b+1)]

Alors qu'il faut lire : Monter que 1+[2/(b+1)]<V3<1+[2/(a+1)]

Partons de a < racine(3) et montrons que 1+2/(a+1) > racine(3).

a < racine(3) => a+1 < racine(3)+1
     => 1/(a+1) > 1/[racine(3)+1]
     => 2/(a+1) > 2/[racine(3)+1]
     => 1+2/(a+1) > 1+2/[racine(3)+1]

Après, on démontre que 1+2/[racine(3)+1] est égal à racine(3).
Je vous laisse le prouver.

Seconde question :

L'idée, c'est que l'encadrement initial :

a < racine(3) < b

est plus large (moins précis) que l'encadrement suivant :

1+2/(b+1) < racine(3) < 1+2/(a+1)

Donc, vous allez partir du premier encadrement :

1) 1 < racine(3) < 2  -> l'amplitude de cet encadrement est 2-1 = 1. Comme 1 est supérieur à 10^-3, il faut déterminer l'encadrement suivant :

a=1, b=2

=> vous déduisez l'encadrement suivant :

2) 1+2/(2+1) < racine(3) < 1+2/(1+1)

c'est à dire : 1+2/3 < racine(3) < 1+2/2
c'est à dire : 5/3 < racine(3) < 2
-> l'amplitude de cet encadrement est 2-5/3 = 1/3. L'amplitude est plus grande que 10^-3, donc il faut déterminer l'encadrement suivant.

a=5/3, b=2
... A vous de continuer jusqu'à ce que l'amplitude de l'encadrement soit inférieur à 10^-3.

Bon travail.


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salut.
il doit y avoir une erreur d'enoncé : y'a pas de a dans les inegalités mais que des b.

je suppose que c'est 1+[2/(b+1)]<V3<1+[2/(a+1)]
qu'il faut demontrer.

a<V3<b
a+1<(V3)+1<b+1
car a et b positif donc (il suffit de dire) a+1,(mais aussi) b+1 sont strictement positifs.
la fonction x->1/x est dercoissante sur R+*.
donc 1/(b+1)<1/[(V3)+1]<1/(a+1)
om multiplie par 1/2 qui est postif donc
2/(b+1)<2/[(V3)+1]<2/(a+1)
donc 1+2/(b+1)<1+2/[(V3)+1]<1+2/(a+1)

mais tu vas me dire on a 1+2/[V(3)+1] et non V3.
il y a une astuce :
1+2/[V(3)+1]=(1+2/[V(3)+1])*[(V3)-1]/[(V3)-1]
(on peut ecrire ca car V3 different de 1).
on developpe :
donc 1+2/[V(3)+1]=1+2*[(V3)-1]/[[(V3)+1]*[(V3-1)]

je pense que tu reconnais l'identite remarquable a^2-b^2=(a-b)*(a+b)

donc 1+2/[V(3)+1]=1+2*[(V3)-1]/(3-1)=1+2*[(V3)-1]/2
1+2/[V(3)+1]=1+[(V3)-1]=V3.

donc on a 1+[2/(b+1)]<V3<1+[2/(b+1)]


2)on a montrer que si a<V3<b alors 1+[2/(b+1)]<V3<1+[2/(b+1)]
comprehension de l'exo :
la deuxieme inegalite permet un encadrement plus fin que le precedent (je ne pense pas que c'est a demontrer).
on le voit en prenant des valeurs rationnelles de a et de b.

exemple a=3/2 b=2
(on sait que V3 est compris entre 3/2 et 2)
d'apres 1, (5/3)<V3<9/5
on refait 1 avec a=5/3 et b=9/5
                  (12/7)<V3<(7/4)
et ainsi de suite.

il est evident que le choix de a et de b au debut va influer sur le nombre de calculs a effectuer pour obtenir la reponse.

tout depend donc quel encadrement de V3 tu connais.
moi j'ai pris l'un des plus larges 1,5<V3<2
d'autres considerent que 17/10=1,7<V3<1,8=18/10
ou meme 173/100<V3<174/100
le tout est de savoir quel encadrement a la base tu connais de V3.

voila.

ps. il y en a qu'il ne faut pas choisir, du moins a eviter car le nombre d'operations (c'est a dire utiliser 1) est doublé.
1<V3<2 ne doit pas etre utilisé a moins que tu veuilles passer un bon moment a ecrire toutes les operations.

*** message déplacé ***

En effet merci miquelon pour la détéction du multi-post

Pour ganelle :

Rappel important :
multi-post = exclusion temporaire ou définitive du forum !
le multi-post consiste à reposer une même question dans un topic différent. Si vous avez commencé à parler d'un problème dans un topic, poursuivez dans ce même topic en répondant à votre propre message. Ainsi, votre topic remontera en haut de la liste des messages et pourra à nouveau attirer l'attention des correcteurs.

le probléme pour la question 2) c'est que moi je ne connais pas d'encadrement pour V3 alors je prend n-importe lequel?et je n'ai pas compris la méthode.

*** message déplacé ***

je ne connais pas d'intervalle pour la racine de 3 alors je prends n'importe qu'elle nombre?et je n'ai pas compris la méthode.

la fonction x->rac(x) est croissante sur R+.
(rac=racine carree de)
9/4<3<4
donc
3/2=rac(9/4)<rac(3)<rac(4)=2.

donc 3/2<rac(3)<2

tu prends a=3/2 et b=2.
mais b-a>=10^-3

tu utilises 1)
comme 3/2<rac(3)<2 on a :
1+[2/(2+1)]<racine de 3<1+[2/((3/2)+1)]

ce qui fait 5/3<racine de 3<9/5
or 9/5-5/3>10^-3
tu utilises de nouveau 1. avec a=5/3 et b=9/5

et ainsi de suite jusqu'a avoir un encadrement de rac(3) a moins de 10^-3.

a ok je commence a comprendre marci!!

on gros, on approche rac(3) successivement et l'approximation devient de plus en plus fine.
pour mon exemple a=3/2 b=2

valeurs successives de :
a          b
3/2        2
5/3        9/5      
12/7       7/4
19/11      33/19      
45/26      26/15
71/41      123/71  

et 123/71 - 71/41 =2/2911<10^-3

pour l'exemple a=1 b=2 au debut :
valeurs successives de :
a          b
1          2
5/3        2
5/3        7/4
19/11      7/4
19/11      26/15
71/41      26/15
71/41      97/56
et 97/56-71/41<10^-3

en fin de compte le deuxieme exemple est mieux :

- on remarque quand on fait les calculs pour les
nouveaux a et b, l'un des deux est deja fait.

- on arrive a ume meilleure approximation.

p.s. j'aurais jure que a=3/2 b=2 etait plus rapide,
comme quoi...il ne faut pas se fier aux apparences !

re(p.s.) enfin si a=3/2 et b=2 est plus rapide.
il ne faut que 6 utilisations du (1) pour arriver au resultat alors que pour le deuxieme exemple il en faut 7. mais bon 6 ou 7...

c'est cool j'ai bien compris merci!