Salut,

(1,2,3) = (1,0,1) + 2*(0,1,1))
.....

merci mais cela ne m'explique pas comment faire l'exo.
Si quelqu'un avait d'autres explications, il sera le bienvenu et ce ne sera pa de refus.

merci a+
Aurélie

Salut
il faut essayer d'exprimer chaque vecteur de ta première famille en fonction des vecteurs de ton autre famille
c'est ce que tutu a fait avec le premier vecteur, il te reste à montrer la même chose pour le second de ta première famille. Ainsi tu sais que ton premier espace vectoriel est inclus dans le second.
Ensuite tu as 2 possibilités, soit tu fais la même chose en partant de la deuxième famille, soit tu utilises le fait que deux espaces vectoriels de même dimension sont confondus si il y a une inclusion, et pour cela il te faut dire que ce sont deux espaces vectoriels de dimension 2 car tu as à chaque fois une famille libre.

Coucou,
j'ai 1 petit exo dans lequel j'ai quelques difficultés ; alors si quelqu'un peu m'aider ..
Voici les énoncés :

Montrer que dans R3 (3 en puissance) :
     Vect((1,2,3),(2,-1,1)) = ((1,0,1),(0,1,1))

Voilà, merci d'avance
a+
             Aurélie


*** message déplacé ***

Dernier rappel

PAS DE MULTI-POSTS !

Si tu penses que ton message est passé aux oubliettes, reposte dans le topic initial, il remontera automatiquement parmi les premiers.
Merci

tu pourrais m'aider à résoudre le problème ?
Merci d'avance  A+ Aurélie

Salut Aurélie

Notons E l'espace vectoriel engendré par e₁(1,0,1) et e₂(0,1,1)

Notons d'autre part F l'espace vectoriel engendré par f₁(1,2,3) et f₂(2,-1,1)

Il s'agit de montrer que F = E

Voici les étapes de la démonstration :

<b><font color=red>1. Montrons qu'il existe ( ₁ ; ₁ ) dans ² tel que f₁ = ₁.e₁ +  ₁.e₂

2. Montrons qu'il existe ( ₂ ; ₂ ) dans ² tel que f₂ = ₂.e₁ +  ₂.e₂ </font></b>

Ces deux premières étapes te permettent de démontrer que F E...

Voyons pourquoi :

<font color=blue>------

Soit x F
Alors, il existe (x₁ ; x₂) dans ² tel que x = x₁.f₁ + x₂.f₂

Or f₁ = ₁.e₁ +  ₁.e₂
et f₂ = ₂.e₁ +  ₂.e₂

Donc x = x₁.[ ₁.e₁ +  ₁.e₂ ] + x₂.[ ₂.e₁ +  ₂.e₂ ]

Mais alors x = [ x₁.₁ ].e₁ +  [ x₁.₁ ].e₂  + [ x₂.₂ ].e₁ +  [ x₂.₂ ].e₂

donc x = [ x₁.₁ + x₂.₂ ].e₁ +  [ x₁.₁ + x₂.₂ ].e₂    

Donc il existe (x'₁ ; x'₂) dans ² tel que x = x'₁.e₁ + x'₂.e₂
(il suffit de prendre x'₁ = x₁.₁ + x₂.₂ et x'₂ = x₁.₁ + x₂.₂)

Et donc x E

Ainsi, si x F, alors x E.

Donc F E.
------</font>

Reste la dernière étape : celle qui te permettra de conlure qu'il y a égalité...
Et comme te l'a dit titimarion, tu as le choix entre deux méthodes :

<b><font color=red>3. Première méthode :</b>
Tu montres exactement de la même façon (donc en deux étapes ) que E F
Alors, de F E et E F, tu pourras conclure que E = F

<b>3. Seconde méthode :</b>
Tu démontres que dim(F) = 2  et  que dim(E) = 2.
Alors, de F E et dim(F) = dim(E), tu pourras conclure que E = F</font>


---------

J'espère que la démarche est plus claire maintenant

@+
Emma
_{Merci de ne pas faire de multi-post}

merci Emma de ton aide, c'est sympa de pouvoir compter sur quelqu'un.
A+
Aurélie

Pas de quoi, Aurélie

L'avantage, sur ce forum, c'est que tu peux compter sur plus d'une personne...
La preuve avec le nombre d'intervenants dans ton sujet

@+
Emma