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Niveau énigmes
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Janssen

Posté par
Imod
23-08-21 à 11:06

Bonjour à tous

Une question ou plutôt plusieurs questions que je me pose en marge de ce problème Polygone simple

On assemble des carrés unités d'un réseau pour constituer un polygone dont la frontière forme un polygone simple ( intérieur connexe ) .

On note :

• N le nombre de carrés utilisés .
• F le nombre de points du réseau sur la frontière .
• I le nombre de point du réseau à l'intérieur ( strict ) du polygone .

La formule de Pick nous dit qu'alors 2.N = F + 2.I - 2 . Les questions :

1°) Quelles sont les valeurs du couple (F,I) pour lesquelles le polygone existe ?
2°) Pour quelles valeurs de (F,I) le polygone est-il unique ( à une isométrie près ) ?

Janssen

On peut ensuite se poser les mêmes questions sur un réseau en triangles équilatéraux où la formule de Pick devient : N = F + 2.I - 2 .

Et pourquoi pas sur un réseau en hexagones réguliers ?

PS : Il est inutile d'avoir lu le problème cité pour participer efficacement à ce fil .

Amusez-vous bien

Imod

Posté par
LittleFox
re : Janssen 24-08-21 à 12:30

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Posté par
Imod
re : Janssen 24-08-21 à 16:29

C'est bon LittleFox

Il reste le triangle et pourquoi pas l'hexagone

Imod

Posté par
verdurin
re : Janssen 24-08-21 à 18:56

Bonsoir LittleFox,
la condition donnée pour l'existence est nécessaire mais pas suffisante.
Ce qui est étonnant car tu donnes la borne nécessaire et suffisante juste en dessous.

Pour l'unicité la condition donnée n'est pas suffisante, et je n'ai pas d'idée sur une condition nécessaire et suffisante.
Pour voir qu'elle n'est pas suffisante on peut regarder les polygones d'aire n^2+1 avec n>2.

Posté par
Imod
re : Janssen 24-08-21 à 19:10

Il me semble que LittleFox c'est un peu emmêlé les pinceaux avec ses parenthèses , la bonne formule est bien la deuxième F=2\lceil{2\sqrt{I}\rceil+4 avec une inégalité pour la première .

Tu as un contre-exemple concret pour la non unicité dans le cas d'égalité ?

Imod

Posté par
verdurin
re : Janssen 24-08-21 à 19:38

Un contre-exemple :

Janssen

Posté par
Imod
re : Janssen 25-08-21 à 10:16

D'accord , la solution de LittleFox était trop compacte pour être complète

Mettons-nous d'accord sur quelques points :

1°) I est la variable principale et on pose Fm = 2\lceil 2.\sqrt{I}\rceil +4 .

2°) Les valeurs de F pour lesquelles il existe des solutions sont les entiers pairs supérieurs ou égaux à Fm . Pour que la solution soit unique il faut que F=Fm ( la condition est suffisante si I est un carré ) .

Le problème de l'existence est réglé , il reste l'unicité quand I n'est pas un carré . Il faut sans doute passer par quelques cas particuliers comme tu as commencé à le faire .

A suivre donc ...

Imod

Posté par
LittleFox
re : Janssen 25-08-21 à 13:03



Mes conditions pour l'existence sont correctes mais c'est un système.
Je ne donne pas une borne mais les conditions sur les valeurs de (F, I) telles qu'un polygone existe.
Il faut prendre les trois contraintes ensemble.

J'ai dû effectivement calculer la borne pour l'unicité.
Mais effectivement, ce n'est pas encore suffisant.

Posté par
Imod
re : Janssen 25-08-21 à 17:26

D'accord , le changement d'optique était surprenant mais tu as simplement intégré la parité de F à la deuxième équation du deuxième système

Imod

Posté par
Imod
re : Janssen 25-08-21 à 17:59

Je viens de me rendre compte qu'il n'est même pas nécessaire que F=Fm pour qu'il y ait unicité par exemple avec (I,F)=(0,6) ou (I,F)=(1,10) .

Imod

Posté par
verdurin
re : Janssen 25-08-21 à 18:35

Avec une faute de frappe :
(I,F)=(0,2) ou (I,F)=(1,10).
Il me semble que ce sont les deux seules exceptions.

Posté par
Imod
re : Janssen 25-08-21 à 18:44

C'est clair quand I est un carré , un peu moins sinon .

Imod

Posté par
verdurin
re : Janssen 26-08-21 à 18:23

Très rapidement le fruit, peut-être faux, de mes cogitations.

Pour I\ge4 les polygones « uniques » vérifient
F est minimum
I est de la forme a^2, a(a+1), a^2-1, a(a+1)-1

Posté par
Imod
re : Janssen 27-08-21 à 12:12

Salut Verdurin

Je n'ai pas trouvé de contre-exemple ni d'exemple sortant du cadre que tu proposes . Il est vrai que les petites valeurs de I génèrent des effets de bord mais qu'au-delà tout se passe plutôt bien . Pour formaliser , je balance une idée sans trop d'efforts

En inversant des angles , on peut transformer le polygone en rectangle sans changer le nombre de points à la frontière mais en augmentant le nombre de points à l'intérieur . Si inversement on peut réduire différemment le nombre de points intérieurs , on perd l'unicité . De cette façon , deux rectangles différents ne peuvent jamais aboutir au même polygone .

Imod



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