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Je cherche une formule de probabilité

Posté par
TigerAnto
01-04-20 à 10:46

Bonjour à tous,

Je cogite depuis quelques temps sur un problème de probabilité.

On suppose que je joue à un jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée.

Je cherche une formule qui permettrait de calculer la probabilité d'obtenir au moins une série d'au moins k piles successifs en n lancers.

Je prends un exemple:
Je veux au moins une série d'au moins 2 piles successifs en 5 lancers.
Avec un arbre de probabilité je trouve une probabilité de 19/32.

J'aimerais pouvoir le faire avec des nombres beaucoup plus grands et je ne me vois pas faire un arbre avec des milliers de branches. 😁


Merci pour votre aide.

Posté par
carpediem
re : Je cherche une formule de probabilité 01-04-20 à 13:47

salut

à mon avis pour essayer de trouver une formule générale il peut être utile de distinguer la probabilité p du succès de la probabilité q de son contraire  ... avec évidemment p + q = 1 dans le cas d'une expérience de Bernoulli

car avoir 1/2 pour les deux événements peut masquer des choses ...

on va donc supposer P(Pile) = p et P(Face) = q

et on veut connaitre la probabilité d'obtenir k piles consécutifs en n lancers
(on va commencer par avoir exactement k piles consécutifs car il me semble qu'on généraliser pour avoir "au moins k")


un début de raisonnement en notant m le début (d'au moins une série de k pile) :

on a donc m - 1 lancers quelconques (qui n'exclut pas d'avoir déjà k piles consécutifs) puis k piles puis n - (m - 1 + k) lancers quelconques (qui n'exclut pas d'avoir à nouveau k piles consécutifs) :

p^k \times \sum_{m= 1}^{n - k} \left[ \left(\sum_{i = 0}^{m - 1} {m - 1 \choose i} p^i q^{m - 1 - i} \left) \times \left( \sum_{i = 0}^{n - (m {\red - 1} + k)}  {n - (m { \red - 1} + k) \choose i} p^i q^{n - (m {\red - 1} + k) - i} \right) \right]

cette formule (sans aucune certitude) donne la probabilité d'avoir k piles à partir du rang m ... et avec éventuellement d'autres séries de k piles ailleurs

mais évidemment cela peut donc donner deux séries de k piles consécutives donc une série de 2k piles ...

le premier facteur p^k assure d'avoir k piles à partir du rang m

dans le crochet :

la première somme donne toutes les possibilités d'avoir des P et des F lors des m - 1 premiers lancers : avec i pile et m - 1 - i face

la deuxième somme donne toutes les possibilités d'avoir des P et des F lors des n - (m - 1 + k) derniers lancers : avec i pile et n - (m - 1 + k) - i face

Posté par
vham
re : Je cherche une formule de probabilité 07-04-20 à 12:28

Bonjour,

Plutôt qu'un arbre à 2n terminaisons on peut suivre l'évolution d'un processus de Markov dont le vecteur est les k+1 Y(i,j) avec i de 0 à k et j de 1 à n.
Y(i,j) reprrésentant une suite de j tirages piles ou faces et se terminant par i piles.
l'évolution : Y(i,j) transmet sa probabilité multiplée par p à Y(i+1,j+1) et multipliée par q à Y(0,j+1).
Y(0,j) cumule les probabilités reçues, ainsi que Y(k,j) dès que j=k+1 (initialisation terminée).

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