Bonjour à tous,
Je cogite depuis quelques temps sur un problème de probabilité.
On suppose que je joue à un jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée.
Je cherche une formule qui permettrait de calculer la probabilité d'obtenir au moins une série d'au moins k piles successifs en n lancers.
Je prends un exemple:
Je veux au moins une série d'au moins 2 piles successifs en 5 lancers.
Avec un arbre de probabilité je trouve une probabilité de 19/32.
J'aimerais pouvoir le faire avec des nombres beaucoup plus grands et je ne me vois pas faire un arbre avec des milliers de branches. 😁
Merci pour votre aide.
salut
à mon avis pour essayer de trouver une formule générale il peut être utile de distinguer la probabilité p du succès de la probabilité q de son contraire ... avec évidemment p + q = 1 dans le cas d'une expérience de Bernoulli
car avoir 1/2 pour les deux événements peut masquer des choses ...
on va donc supposer P(Pile) = p et P(Face) = q
et on veut connaitre la probabilité d'obtenir k piles consécutifs en n lancers
(on va commencer par avoir exactement k piles consécutifs car il me semble qu'on généraliser pour avoir "au moins k")
un début de raisonnement en notant m le début (d'au moins une série de k pile) :
on a donc m - 1 lancers quelconques (qui n'exclut pas d'avoir déjà k piles consécutifs) puis k piles puis n - (m - 1 + k) lancers quelconques (qui n'exclut pas d'avoir à nouveau k piles consécutifs) :
cette formule (sans aucune certitude) donne la probabilité d'avoir k piles à partir du rang m ... et avec éventuellement d'autres séries de k piles ailleurs
mais évidemment cela peut donc donner deux séries de k piles consécutives donc une série de 2k piles ...
le premier facteur assure d'avoir k piles à partir du rang m
dans le crochet :
la première somme donne toutes les possibilités d'avoir des P et des F lors des m - 1 premiers lancers : avec i pile et m - 1 - i face
la deuxième somme donne toutes les possibilités d'avoir des P et des F lors des n - (m - 1 + k) derniers lancers : avec i pile et n - (m - 1 + k) - i face
Bonjour,
Plutôt qu'un arbre à 2n terminaisons on peut suivre l'évolution d'un processus de Markov dont le vecteur est les k+1 Y(i,j) avec i de 0 à k et j de 1 à n.
Y(i,j) reprrésentant une suite de j tirages piles ou faces et se terminant par i piles.
l'évolution : Y(i,j) transmet sa probabilité multiplée par p à Y(i+1,j+1) et multipliée par q à Y(0,j+1).
Y(0,j) cumule les probabilités reçues, ainsi que Y(k,j) dès que j=k+1 (initialisation terminée).
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