Personne ne peut maider ??

salut,

je ne pense pas que cela soit si dur ...

on ne change pas le sens de l'inégalité lorsqu'on multplie ou divise par un nombre négatif
0 < x < y <=> 0/y < x/y < 1
etc.etc.

Pookette

désolée, il faut lire "par un nombre positif"

Pookette

Apparemment, Pookette n'a pas saisi non plus l'énoncé du probléme.

On te demande dans ce probléme de comparer les trois termes : x/y , x/(y+1) et (x+1)/(y+1) entre eux sachant que 0 < x < y donc que x et y sont des réels strictement positifs et distincts.

On te guide dans la réponse en te proposant de tester avec deux chiffres x et y.

ex : choisissons x=3 et y=6
on obtient : x/y = 1/2 ; x/(y+1) = 3/7 ; (x+1)/(y+1) = 4/7
Or comme 3/7 < 1/2 < 4/7 on en déduit donc l'encadrement suivant :

(1) x/(y+1) < x/y < (x+1)/(y+1) avec 0 < x < y et x=3 et y=6

Le but du jeu est maintenant de prouver l'encadrement (1) pour tout x et y !

Prouvont le premier encadrement :

Pour tout x et y tels que 0 < x < y, on a : 0 < y < y+1
En passant à l'inverse, on change le sens de l'inégalité, donc :

0 < 1/(y+1) < 1/y

il ne reste plus qu'à multiplier par x qui est strictement positif et on obtient la premiére inégalité.
soit : x/(y+1) < x/y

Prouvons le second encadrement :

Pour tout x et y tels que 0 < x < y, on ajoute des trois côtés le produit x.y
Soit 0 < x < y => 0 + x.y < x + x.y < y + x.y

En factorisant par x d'un côté et y de l'autre, on obtient :

x + x.y < y + x.y <=> x.(y+1) < y.(x+1)

y étant strictement positif, y+1 est aussi strictement positif, il suffit de diviser par y et par y+1 pour obtenir l'encadrement désiré.

Après avoir divisé par y on obtient : (x.(y+1))/y < (x+1)
Division par y+1 et on obtient : x/y < (x+1) /(y+1)

et d'où la réponse à ton probléme :

Pour tout x et y tel que 0 < x < y on a : x/(y+1) < x/y < (x+1)/(y+1)

CQFD

Mille mercii de votre aideeeee