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Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x...

Posté par
Ju12 12-10-10 à 21:28

Bonjour, malgré mes efforts, je ne comprends pas ! L'énoncé est pourtant simple... Calculer cos5x.

Voilà ce que j'ai :

cos5x = cos5x+isin5x = (cosx+isinx)^5 (déjà, j'ai du mal à comprendre pourquoi cos5x = cos5x+isin5x. Je me tiens à dire que c'est comme ça et que c'est la formule de Moivre.)

Ensuite, je sais qu'il faut utiliser la formule du binôme de Newton en développant (cosx+isinx)^5 ce qui me donne quelque chose de très long

cos^5(x)+5cos^4(x)isinx+10cos^3(x)isin^2(x)+10cos^2(x)isin^3(x)+5cos(x)isin^4(x)+isin^5(x)

Est-ce vrai ? Je ne sais pas alors si quelqu'un pourrait m'expliquer tout ça clairement je lui serais très reconnaissant !
Si possible de façon détaillée, je sais que c'est chiant à écrire et que j'embête les gens mais je m'en excuse !

Très bonne soirée à tous et merci à mon sauveur

Ju12

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x... 12-10-10 à 21:31

Bonjour,

Citation :
cos5x = cos5x+isin5x
est faux, bien sûr.
Je reviens.

Posté par
Ju12re : Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x... 12-10-10 à 21:35

Je commence déjà bien... Je te remercie de ton aide future ! A croire que j'ai vraiment du mal avec ça... J'avoue que cette formule me paraissait étrange...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x... 12-10-10 à 21:37

cos5x = Re( cos5x+isin5x )
Je reviens...

Posté par
Ju12re : Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x... 12-10-10 à 21:43

J'attends ! Mais quelques explications seront nécessaire

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x... 12-10-10 à 21:49

Méthode 1 (avec des outils de Terminale)

3$\cos 5x=\cos(4x+x)

On applique les formules d'addition :
3$\cos 5x=\cos 4x\cos x-\sin 4x\sin x

On applique plusieurs fois les formules \cos 2X=2\cos^2X-1 et \sin 2X=2\sin X\cos X :
3$\cos 5x=\left(2\cos^22x-1\right)\cos x-2\sin 2x\cos 2x\sin x

3$\cos 5x=\left(2\left(2\cos^2x-1\right)^2-1\right)\cos x-4\sin x\cos x\left(2\cos^2x-1\right)\sin x

Or \sin^2x=1-\cos^2x, donc :

3$\cos 5x=\left(2\left(2\cos^2x-1\right)^2-1\right)\cos x-4\left(1-\cos^2x\right)\cos x\left(2\cos^2x-1\right)

On développe :

3$\fbox{\cos 5x=16\cos^5x-20\cos^3x+5\cos x}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x... 12-10-10 à 22:01

Méthode 2 (avec des outils de Terminale)

3$\cos(5x) = \mathscr{Re}\left(\cos 5x+i\sin 5x\right)

3$\cos(5x) = \mathscr{Re}\left(e^{i5x})

3$\cos(5x) = \mathscr{Re}\left( \left(e^{ix}\right)^5 )

3$\cos(5x) = \mathscr{Re}\left( \left(\cos x+i\sin x\right)^5 )

3$\cos(5x) = \mathscr{Re}\left( cos^5x + 5i\cos^4\sin x - 10\cos^3x\sin^2x -10i\cos^2x\sin 3x + 5\cos x\sin^4x -i\sin^5x )

3$\cos(5x) = cos^5x - 10\cos^3x\sin^2x + 5\cos x\sin^4x

3$\cos(5x) = cos^5x - 10\cos^3x\left(1-\cos^2x\right) + 5\cos x\left(1-\cos^2x\right)^2

3$\fbox{\cos 5x=16\cos^5x-20\cos^3x+5\cos x}

Posté par
Ju12re : Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x... 12-10-10 à 22:14

Dans le méthode 1, lorsqu'on applique les formules de duplications, je ne comprends pas juste cette étape.

On remplace cos4x par cos(2x)=2cos^2(x)-1, ça je suis d'accord mais cos4x n'est pas égal à cos(2x) ?! Il faut faire cos(2x) au carré, non ?

Dans la méthode 2, lorsqu'on développe avec le binôme de Newton, je ne comprends pas pourquoi dans certaines expressions, les i restent et dans d'autres ils ne sont plus là..?

Posté par
Ju12re : Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x... 12-10-10 à 22:16

En utilisant les nombres complexes, calculer cos5 en fonction de cos et sin.



Nous avons par la formule de Moivre

cos5+isin5=ei5=(ei)5=(cos+isin)5

On développe ce dernier produit, puis on identifie parties réelles et parties imaginaires.

On obtient :

cos5= cos5−10cos3sin2+5cossin4

Alors cette correction donnée est fausse ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x... 12-10-10 à 22:26

Citation :
Il faut faire cos(2x) au carré, non ?

Non. Tu sais tout de même que cos(4x) n'est pas égal à (cos(2x))², non ?

Citation :
On remplace cos4x par cos(2x)=2cos^2(x)-1, ça je suis d'accord mais cos4x n'est pas égal à cos(2x) ?!

Pose X = 2x, comme je l'ai fait

Citation :
Dans la méthode 2, lorsqu'on développe avec le binôme de Newton, je ne comprends pas pourquoi dans certaines expressions, les i restent et dans d'autres ils ne sont plus là..?

j'ai remplacé i² par -1, i^3 par -i, i^4 par 1, i^5 par i

Citation :
Alors cette correction donnée est fausse ?

Je pense qu'elle est juste. C'est exactement ma "méthode 2" en s'arrêtant 3 lignes avant la fin

Posté par
Ju12re : Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x... 12-10-10 à 22:40

Alors pour la méthode 2, j'ai tout compris, j'avais complètement oublié qu'il fallait aussi faire intervenir les puissances sur les i !

Maintenant pour la méthode 1, j'essaye encore de comprendre mais je la trouve plus compliqué... Je vais regarder ça de plus près !

Par exemple, si maintenant on veut calculer sin5x, on recherche la partie imaginaire et plus la partie réel ?

Ce qui reviendrait à : sin5x= Im(cos5x+isin5x), n'est ce pas, ou j'ai encore dis des bêtises ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x... 12-10-10 à 22:44

C'est exactement ça.

Et l'équivalent de la méthode 1 pour sin(5x) est la suivante :

3$\begin{array}{rcl} \\ \sin 5x & = & \sin(4x+x)\\ \\ & = & \sin 4x\cos x +\sin x\cos 4x\\ \\ & = & 2\sin 2x\cos 2x\cos x+\sin x(\cos^22x-\sin^22x)\\ \\ & = & 4\sin x\cos x(\cos^2x-\sin^2x)\cos x+\sin x[(\cos^2x-\sin^2x)^2-4\sin^2x\cos^2x]\\ \\ & = & 4\sin x\cos^4x-4\sin^3x\cos^2x+\sin x\cos^4x-2\sin^3x\cos^2x+\sin^5x-4\sin^3x\cos^2x\\ \\ & = & \sin^5x-10\sin^3x\cos^2x+5\sin x\cos^4x\\ \\ & = & \sin^5x-10\sin^3x(1-\sin^2x)+5\sin x(1-\sin^2x)^2\\ \\ & = & \sin^5x-10\sin^3x+10\sin^5x+5\sin x-10\sin^3x+5\sin^5x\\ \\ & = & 16\sin^5x-20\sin^3x+5\sin x \\ \end{array}

Sauf erreur !

Posté par
julien007re : Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x... 12-10-10 à 22:47

Non, il n'y en a pas

Posté par
malarre : Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x... 12-10-10 à 22:51

Bonsoir,

Excusez moi de vous déranger
Pourriez vous me corriger une question  Nicolas_75  s'il vous plait merci d'avance.


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