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Niveau Licence Maths 1e ann
Je ne comprends vraiment pas, calculer cos 5x...
Posté par Ju12
Bonjour, malgré mes efforts, je ne comprends pas ! L'énoncé est pourtant simple... Calculer cos5x.
Voilà ce que j'ai :
cos5x = cos5x+isin5x = (cosx+isinx)^5 (déjà, j'ai du mal à comprendre pourquoi cos5x = cos5x+isin5x. Je me tiens à dire que c'est comme ça et que c'est la formule de Moivre.)
Ensuite, je sais qu'il faut utiliser la formule du binôme de Newton en développant (cosx+isinx)^5 ce qui me donne quelque chose de très long
cos^5(x)+5cos^4(x)isinx+10cos^3(x)isin^2(x)+10cos^2(x)isin^3(x)+5cos(x)isin^4(x)+isin^5(x)
Est-ce vrai ? Je ne sais pas alors si quelqu'un pourrait m'expliquer tout ça clairement je lui serais très reconnaissant 
!
Si possible de façon détaillée, je sais que c'est chiant à écrire et que j'embête les gens mais je m'en excuse !
Très bonne soirée à tous et merci à mon sauveur
Ju12
Je commence déjà bien... Je te remercie de ton aide future ! A croire que j'ai vraiment du mal avec ça... J'avoue que cette formule me paraissait étrange...
Méthode 1 (avec des outils de Terminale)
On applique les formules d'addition :
On applique plusieurs fois les formules et
:
Or , donc :
On développe :
Dans le méthode 1, lorsqu'on applique les formules de duplications, je ne comprends pas juste cette étape.
On remplace cos4x par cos(2x)=2cos^2(x)-1, ça je suis d'accord mais cos4x n'est pas égal à cos(2x) ?! Il faut faire cos(2x) au carré, non ?
Dans la méthode 2, lorsqu'on développe avec le binôme de Newton, je ne comprends pas pourquoi dans certaines expressions, les i restent et dans d'autres ils ne sont plus là..?
En utilisant les nombres complexes, calculer cos5 en fonction de cos et sin.
Nous avons par la formule de Moivre
cos5+isin5=ei5=(ei)5=(cos+isin)5
On développe ce dernier produit, puis on identifie parties réelles et parties imaginaires.
On obtient :
cos5= cos5−10cos3sin2+5cossin4
Alors cette correction donnée est fausse ?
Citation :
Il faut faire cos(2x) au carré, non ?
Il faut faire cos(2x) au carré, non ?
Non. Tu sais tout de même que cos(4x) n'est pas égal à (cos(2x))², non ?
Citation :
On remplace cos4x par cos(2x)=2cos^2(x)-1, ça je suis d'accord mais cos4x n'est pas égal à cos(2x) ?!
On remplace cos4x par cos(2x)=2cos^2(x)-1, ça je suis d'accord mais cos4x n'est pas égal à cos(2x) ?!
Pose X = 2x, comme je l'ai fait
Citation :
Dans la méthode 2, lorsqu'on développe avec le binôme de Newton, je ne comprends pas pourquoi dans certaines expressions, les i restent et dans d'autres ils ne sont plus là..?
Dans la méthode 2, lorsqu'on développe avec le binôme de Newton, je ne comprends pas pourquoi dans certaines expressions, les i restent et dans d'autres ils ne sont plus là..?
j'ai remplacé i² par -1, i^3 par -i, i^4 par 1, i^5 par i
Citation :
Alors cette correction donnée est fausse ?
Alors cette correction donnée est fausse ?
Je pense qu'elle est juste. C'est exactement ma "méthode 2" en s'arrêtant 3 lignes avant la fin
Alors pour la méthode 2, j'ai tout compris, j'avais complètement oublié qu'il fallait aussi faire intervenir les puissances sur les i !
Maintenant pour la méthode 1, j'essaye encore de comprendre mais je la trouve plus compliqué... Je vais regarder ça de plus près !
Par exemple, si maintenant on veut calculer sin5x, on recherche la partie imaginaire et plus la partie réel ?
Ce qui reviendrait à : sin5x= Im(cos5x+isin5x), n'est ce pas, ou j'ai encore dis des bêtises ?