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je ne trouve pas certaines primitives

Posté par Polo40 (invité) 22-01-05 à 18:05

Bonjour à tous
Je ne sais pas résoudre les primitives suivantes:

1)(arcsinx)/(racine de 1-x2)
2)(eracine de x)/racine de x
3)(lnx)/(x(1-ln²x))
4)e2x²+lnx
5)sin²x
6)(2x2)/(x2+1)

Merci de répondre aux maximum de primitives possibles. En vous souhaitant une bonne fin de soirée.
@+  

Posté par
Nightmarere : je ne trouve pas certaines primitives 22-01-05 à 18:12

Bonjour

Je te fais les 2 premiéres :

1)\rm f(x)=\frac{arcsin(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}

En posant :
\rm u(x)=arcsin(x)\Longrightarrow u'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

On obtient :
\rm f(x)=u'(x).u(x)

On en déduit :
\rm\Bigint f(x)dx=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}+C_{te}
soit :
\fbox{\rm\Bigint f(x)dx=\frac{1}{2}arcsin^{2}(x)+C_{te}}

2)2$\rm g(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

En posant :
\rm h(x)=\sqrt{x}\Longrightarrow h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
On a :
\rm g(x)=\frac{1}{2}h'(x).e^{h(x)}
On en déduit :
\rm\Bigint g(x)dx=\frac{1}{2}e^{h(x)}+C_{te}
soit :
\fbox{\rm\Bigint g(x)dx=\frac{1}{2}e^{\sqrt{x}}+C_{te}}

Je te laisse terminer


Jord

Posté par
Nightmarere : je ne trouve pas certaines primitives 22-01-05 à 19:54

Voici le reste au cas où tu aurais du mal :

3) \rm A(x)=\frac{ln(x)}{x(1-ln^{2}(x))}

En posant :
\rm\lambda (x)=1-ln^{2}(x)\Longrightarrow \lambda '(x)=-\frac{2ln(x)}{x}

on a :
\rm A(x)=-\frac{1}{2}.\frac{\lambda '(x)}{\lambda(x)}
On en déduit :
\rm\Bigint A(x)dx=-\frac{1}{2}.ln\(\lambda (x)\)
Soit :
\rm\fbox{\Bigint A(x)dx=-\frac{1}{2}.ln\(1+ln^{2}(x)\)}

4) \rm B(x)=e^{2x^{2}+ln(x)}

On peut écrire :
\rm B(x)=e^{2x^{2}}.e^{ln(x)}
soit :
\rm B(x)=x.e^{2x^{2}}

En posant :
\rm\mu (x)=2x^{2}\Longrightarrow \mu '(x)=4x
on a :
\rm B(x)=\frac{1}{4}\mu'(x).e^{\mu(x)}
On en déduit :
\rm \Bigint B(x)dx=\frac{1}{4}.e^{\mu(x)}
Soit :
\rm\fbox{\Bigint B(x)dx=\frac{1}{4}.e^{2x^{2}}}

5)\rm C(x)=\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}

On peut écrire :
\rm\begin{tabular} C(x)&=&\frac{2(x^{2}+1)-2}{x^{2}+1}\\&=&2-\frac{2}{x^{2}+1}\end{tabular}

Or :
\rm\Bigint \frac{dx}{x^{2}+1}=arctan(x)

donc :
\rm\fbox{\Bigint C(x)dx=2(x-arctan(x))}


Jord

Posté par
Nightmarere : je ne trouve pas certaines primitives 22-01-05 à 21:46

Ah oui j'en ai oublié une .

Bon :

6) \rm D(x)=sin^{2}(x)

Avec la formule d'Euler on trouve :

\rm D(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.cos(2x)

Or , on a :
\rm\Bigint cos(nx)dx=\frac{1}{n}.sin(nx)+C_{te}

On en déduit :
\rm\Bigint D(x)dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}.sin(2x)+C_{te}


Jord

Posté par Polo40 (invité)re : je ne trouve pas certaines primitives 23-01-05 à 10:50

Merci beaucoup Nightmare pour toutes tes réponses
@+

Posté par
Nightmarere : je ne trouve pas certaines primitives 23-01-05 à 11:04

Pas de probléme


Jord


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