Bonjour
On considère la fonction g dérivable sur R par g=-2xcarré+4x+4ln(2+exp de x)


PartieA étude d'une fonction auxiliaires
On considère la fonction f(x)=-x+1+exp x/2+exp x
1a) calculer les limites de f en -infini et en +infini
b)démontrer que f'(x)=-(exp2x+2exp x+4)/(2+exp x)carré
c)étudier les variations de f puis dresser son tableau de variation
2a) démontrer que f(x)=0 admet une solution alpha
b) justifie que 1,7<alpha<1,8
c) démontrer que pour x appartenant a )-infini, alpha (, f(x)>0 et a ) alpha, +infini (, f(x)<0

PartieB
1a) calculer la limite de g en-infini
b) calculer la limite en -infini de g(x)/x puis interpréter
2a) démontrer que g(x)=-2xcarré+8x+4ln(1+2exp de -x)
b) calculer la limite en +infini
3a) démontrer que g'(x)=4f(x)
b) étudier les variations de g et dresser son tableau de variation
4a) calculer g(0) et en déduire le signe de g(alpha)
b) démontrer que g(x)=-alpha au carré+8alpha-4ln(alpha-1)
5a) démontrer que la droite D d'équation y=-x+1 est asymptote oblique en -infini
b) étudier les positions de C par rapport a D sur R
c) construire C et D


Partie C
Soit lambda un nombre réel strictement supérieur a 0
On désigne par A(lambda) l'aire en cm carré de la partie du plan limité par la courbe C et la droite D et les droites d'équation x=0 et x=lambda
On pose A(lambda)=intégrale de 0 a lambda de exp de x/2+ exp x dx
1) démontrer que A(lambda)=-(ln3+ln(lambda-1)-lambda) en cm carré
2) montrer que la limite en -infini de A(lambda ) =ln(2/3) cm carré.
Unité graphique 1cm



Réponse
Partie A
1a)limite en -infini est +infini
Limite en +infini est -infini
b)c'est fait
c) le signe dépendra de a car le discriminant est négatif
2a,b,c) ses fait
Svp j'aimerais la partie B sa me fatigue
Merci