Bonsoir.

La première chose à savoir est que les nombres rationnels sont construit pour que les équations, d'inconnue , du type avec entier non nul et entier quelconque aient toujours une solution et une seule.

Donc, par définition, est équivalent à .

Ensuite on considère deux rationnels et
On a donc et .
En multipliant membre à membre ces deux égalités il vient  

d'où

Bonjour,
D'après moi, les mathématiques ont une grande part d'abstraction donc chercher à se représenter visuellement ce qu'on étudie n'est pas toujours possible.
Dans le cas des nombres rationnels, ce qui semble vous déranger sont les chiffres après la virgule.
Pourtant si je vous dis 33cl ou 0.33 l est ce que cela dérange?
Si j'ai 8 bouteilles de 678 ml, quel est mon volume total ?
En millilitre c'est 678*8 et en  litre c'est 0.678*8

Si je vends un liquide à 0.343 € par litre et que j'en prends 0.9898 l , cela me coutera 0.9898*0.343

Pour un nombre rationnel comme 0.9898, il existe toujours 2 nombres entier a et b tel que 0.9898=a/b
et tu peux toujours diviser les nombres rationnels par une puissance de 10 si cela vous parle plus.
Exemple: 0.9898=9898/10000,  0.343=343*1000 etc...

Merci pour vous réponses verdurin et Gxd
J'ai bien compris l'interprétation algébrique mais comme
Même il me reste un peu de dérangement
Je suis d'accord avec toi Gxd , mais ça ne marche pas dans ce
Cas d'après mon point de vue
Je trouve  que tous les nombres rationnelle peuvent être représenté sur l'axe des nombres  (ils représentent les divisions de l'axe )  et quand on dit par exemple 3×4
On va retourner à cet axe et on va ajouté à  la distance 4
Trois distances de même valeur  mais dans le cas de 0.899×425 ça semble pour moi un vrai cauchemar  qui me poursuit quand je travaille des limites ou d'autres choses
Je souhaite que c'est  clair et compréhensible , et merci pour votre temps c'est difficile d'avoir une réponse pour ce genre de question

Bonsoir,
34, tu vois
alors 0,6188 : tu répètes 0,878   8 fois, d'accord?
et pour 0,98980,343, puisque 0,343 = 343/1000, tu répètes 0,9898    343 fois et tu divises par 1000
Est-ce que que ça te convient?

Bonsoir co11
Bien ,je comprend bien la multiplication de 0.9898 par 348 on répète cette distance 348 fois  , mais on le divise par 1000  , voilà quelque chose que je ne comprends pas .

Eh bien parce que 0,343 = 343/1000
d'accord ?

Oui on a arrivé à (343 ×0.637)/1000
Alors 343 ×0.6757 =231.7651 et c'est compris
Maintenant 231.7651/1000,  comment trouver une interprétation logique
On peut dire 35 /5  signifie "combien de 5 existe dans 35 "
Mais qu'est ce qu'on peut dire de t 231.7651/1000

Je sais trop comment te dire ...
Par exemple:   1 gramme = 1kg/1000
alors 231,7651 grammes = combien de kg?

ou bien 1 m = 1/1000 km   alors ....

Co11
Je ne vois pas ton point de vue exactement,  qu'est ce que tu veux dire?

Rexe, je crois que je n'ai pas bien compris ta demande finalement ....
De plus, GxD avait bien avant moi tenté te donner une réponse du même genre.Mais ce n'est pas ce que tu cherches on dirait.

Oui c'est vrai
Je crois que ma question est un peu difficile à exprimer,  
Depuis toujours je pensais que  le math est seulement de logique,  mais ce cas de la division et de la multiplication des rationnelles ne me paraît pas compréhensible
Quand je divise 25 par 5 je vais dire "il faut savoir combien de 5 dans 25 et c'est 5 "
Mais quelque chose de 0.9989 divisé par 0.9889 "combien de 0.9889 dans 0.9989 et c'est
?"
Je sais comment faire l'opération mais je ne comprend pas qu'est ce que je fais , une chose inacceptable pour moi
Mais merci pour donner un peu de votre temps  à ce genre de question

Quand tu divises 25 par 5 ...

Tu es dans l'abstraction. Tu divises des nombres, des nombres qui ne représentent rien, c'est abstrait. Moi, je suis terre à terre. je sais additionner des €, ou les multiplier ou les soustraire. Je sais aussi faire ces opérations sur des longueurs, ou des poids.

Je demande 15€ par personne, à mes 3 voisins,  je vais avoir combien ? 15€x3=45€.

Je demande 15€ par personne, à mes 3 voisins, et la somme obtenue, je la divise en 2 parts égales, pour les donner à mes 2 enfants.
Je vais avoir combien ? 15€*3=45€ , et ensuite je divise cette somme par 2 : 45€/2 = 22.5€

Si je regroupe tout ça en une seule formule  : 15*(3/2) = (15*3)/2 = 22.5€
C'est concrêt. Multiplier par un rationnel , c'est multiplier par un entier, puis diviser par un entier.

Reprenons un exemple quasiment identique.
Je demande 15€ à mon premier voisin, et je répartis ces 15 € entre mes  enfants, et je répète l'opération 3 fois, avec mes 3 voisins.
Chacun de mes enfants reçoit 15€/2  3 fois de suite.  il reçoit (15/2)*3 = 22.5€

Je trouve le même résultat. Ouf.

Bonjour ty ، j'ai compris un peu ton point de vue  , mais
Je parle dans l'axe des nombres  (si la nomination est vrai )
Si on multiple 5 par 3 il faut multiplier la distance 5 trois fois
Si on divise 25 par 5  , il faut savoir combien de distance "5"
Dans la distance "25 "
Mon problème c'est que je ne sais pas faire une telle interprétation à la multiplication des rationnelles et leurs divisions sur l'axe des nombres , par exemple :
45 ×1/2   ; 0.78676×0.28272 ;0.99101×637
Et merci pour la contribution

Bonjour
connais-tu le théorème de Thalès ? il permet de visualiser la division des longueurs sur un axe, en utilisant un segment accessoire sécant à l'axe

Bonjour lafol
J'ai pas entendu quelqu'un parler de ce théorème depuis longtemps,  donc si tu peut clarifier un peu ton point de vue
Afin de te comprendre

AB=45 longueur que je veux diviser en deux
par A je trace un segment auxiliaire [AD] dont le milieu est C (dit autrement je gradue avec une longueur arbitraire, et je compte jusque 2, j'obtiens D)
je trace DB
puis par C la parallèle à (DB) passant par C
eh bien cette droite coupe le segment de longueur 45 en 2 parties égales
C'est Thalès

si tu veux 45/7
tu gradues ton segment auxiliaire jusque 7

Bien compris merci malou
Maintenant la question à lafol de faire un lien logique

dans le triangle ADB, C est le milieu de [AD] et (CU)// (DB) donc U est le milieu de [AB]
c'est ce qu'on appelle le théorème de la droite des milieux ou Thales dans le triangle

on peut aussi écrire
AC/AD=AU/AB
comme AC/AD=1/2 alors AU/AB=1/2 ce qui signifie que U est le milieu de [AB]
c'est le théorème de Thalès, appliqué aux sécantes (AD) et (AB) avec les droites // (CU) et (DB)

ça te rappelle des choses ?

c'est exactement ce que malou t'a expliqué : tu veux diviser un segment [AB] en 11 parties égales ? tu traces un autre segment [AC] avec C pas sur la droite (AB), tu te sers de [AC] comme graduation unité sur la demi droite [AC), tu gradues jusque 11 (0 en A, 1 en C, etc)
tu relies la graduation 11 à ton point B, puis tu traces les parallèles à ce dernier segment menées par toutes les graduations : et voilà, [AB] est partagé en 11 parties égales

  Bonsoir lafol après je pense un mois ou deux
Pardonnez moi, mais j'ai pas reçu la notification
Et sincèrement j'ai perdu l'espoir et je me met à accepter la réalité
Ce que l'ai voulu dire
C'est que tu nous donne une relation entre ma question
Et le théorème
Et d'après ton idée (et c'est elle que je utilise)
Quand tu me dit "1/6" je comprends que je dois appliquer ce théorème pour diviser l'unité 1 en 6 puis prendre une seule
Et quand tu me dit "3/6" je comprends que cette distance "1/6 " je dois la multiplier par 3  (et je sais c'est quoi la multiplication ) et d'après ce raisonnement, je finis par dire que la seule division c'est la division de 1.
Mais quand tu me dit "1/3,4"
Comment appliquait je le théorème,  diviser une distance en 3,4 , comment
Je souhaite que j'ai pu transmettre mon idée envers ces nombres et merci à toi lafol ton idée m'a permet de passer les examens au moins

3,4 c'est 34 dixièmes, et son inverse c'est 10/34. Tu dessines un segment de dix unités et grâce au th de Thales tu le partages en 34 parties égales....

Tu peux aussi partie de un, et sur le segment auxiliaire graduer jusque 34, couper en dix ce segment auxiliaire grâce à un troisième segment, et réutiliser le th de Thalès pour diviser ton unité initiale par 3,4...

Tu a bien compris ma question merci lafol  mais si tu peut expliquer encore ce deuxième cas de la division de 1
Car je le comprends bien
Et mettons nous d'accord que la seule division c'est la division de 1
Alors "a/b" n'est rien d'autres que "a×1/b" c'est une multiplication
Alors dans le deuxième est ce tu peut me parler de la divison de 1 uniquement
Sans introduire la division de 34 par 10 car comme je t'ai dit la seule divison c'est
La divison de 1
Et comment 1/34/10 =10/34
Et si mon raisonnement est faux je peux le changer
Je veux seulement comprendre ce que je dois faire  quand quelqu'un me dit divise 3,4 par 3,2 , non pas appliquer des règles sans les comprendre
Et merci d'avance