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Jeu à somme nulle
Bonjour, je vous propose l 'exercice suivant :
On lance une pièce équilibre dotée d un côté" pile" et d un côté "face".
On note X la variable aléatoire valant +1 si la pièce montre un côté pile au lancé et1 si la pièce montre un côté face et enfin on note S la somme obtenue. On lance plusieurs fois de suite cette pièce.,quelle est la probabilite d' obtenir une somme nulle ?
Bonsoir,
je suis d'accord avec matheuxmatou, à une faute de frappe près.
On peut donner une approximation asymptotique.
Cliquez pour affichermerci pour vos participations
j'aurai plutôt vu une réponse de la forme d'une somme en écrivant :
P(S=0)= P(S=0 en 2 lancés) + P(S=0 en 4 lancés) + P(S=0 en 6 lancés)+......+ P(S=0 en 2k lancés) +....
qu'en pensez vous ?
l'énoncé demande la proba d'avoir une somme nulle , donc cela ne peut se faire que sur un nombre de lancés pairs , soit sur 2, 4 ,6 ....ect
lancés
toujours pas clair !
le jeu s'arrête dès qu'on a une somme nulle ?
on lance une infinité de fois ?
tes événements ne sont pas disjoints ! on peut très bien avoir une somme nulle au deuxième ET au quatrième lancer... donc je ne vois pas à quoi correspond cette somme de probas !
bref
ah daccord .....je vois il manquait surement la phrase " le jeu s'arrete si la somme obtenue est nulle"
et alors c'est quoi la question ?
quelle est la probabilité que le jeu s'arrête ?
et cela ne correspond pas du tout à ta somme de probas qui, je le répète, somme des probas d'événements qui ne sont pas disjoints !
bon bref... personnellement j'attends un énoncé moins ambigu... 
On lance une pièce équilibre dotée d un côté" pile" et d un côté "face".
On note X la variable aléatoire valant +1 si la pièce montre un côté pile au lancé et1 si la pièce montre un côté face et enfin on note S la somme obtenue. On lance plusieurs fois de suite cette pièce et le jeu le jeu s'arrête si la somme obtenue est nulle... ca ira ?
Si j'ai bien compris :
le jeu s'arrête au premier retour à 0 et on note X la variable aléatoire donnant la longueur du jeu.
C'est un exercice classique qui utilise le principe de symétrie d'André.
Sauf vraisemblable erreur de ma part on trouve
Cliquez pour afficherSalut flight.
La quantité "1/(2n-1)" est le résultat d'un calcul.
Attention à la position des parenthèses.
Je suis content que matheuxmatou le confirme.
Et je l'ai revérifié aussi. J'avais fait le calcul un peu trop vite.
un truc me dérange dans vos réponses .... par exemple si je veux avoir une somme nulle en prenant le cas exemple : 8 tirages
+1+1+1+1-1-1-1-1 ici je ne cherche pas à ce mon nombre de "+1" précède strictement mon nombre de "-1" au cours des tirages ,je pourrais donc parfaitement avoir la disposition -1-1+1+1-1+1-1+1+1 ainsi que toutes les dispositions possibles de la séquence" +1+1+1+1-1-1-1-1" qui me donnerait toujours une somme nulle .
le probleme du scrutin sauf erreur vise à calculer la proba d'avoir par exemple pour deux candidats A et B un nombre de voix pour A qui serait strictement supérieur à celui de B pour une longueur de tirage choisi, par exemple "ABABAA" (ici A est en avance sur B au bout du 6 ieme tirage ) je vois pas trop le rapport avec mon énoncé qui se veut beaucoup plus simple
dans le tirage ABA... le candidat A n'est pas toujours en stricte avance sur B
un arbre donne, pour 2n = 8, une proba de 5/27 qui correspond bien à la formule de Verdurin et moi
tu cherches bien la proba que S s'annule au lancer 2n pour la première fois ?
un truc me dérange dans vos réponses .... par exemple si je veux avoir une somme nulle en prenant le cas exemple : 8 tirages
+1+1+1+1-1-1-1-1 ici je ne cherche pas à ce mon nombre de "+1" précède strictement mon nombre de "-1" au cours des tirages ,je pourrais donc parfaitement avoir la disposition -1-1+1+1-1+1-1+1+1
ben non ! parce que là ça ne s'annule pas pour la première fois au 8-ième ! le "jeu" s'arrête au 4-ième tirage...
Salut matheuxmatou.
On a répondu successivement à deux questions :
1) quelle est la probabilité pour que la somme nulle après 2n lancers ;
2) quelle est la probabilité pour que la somme soit nulle pour la première fois après 2n lancers.
Là j'ai l'impression que flight essaye de nous embrouiller. 
Je me pose une question.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de tirages avant le premier retour à zéro. Par exemple P(X=2)=1/4.
Quelle est l'espérance de X ?
Il est facile de voir que E(X)<
, mais je n'en sais guère plus.
Bonjour,
Il est assez bien connu qu'il y aura presque sûrement retour à 0, mais que le temps d'attente de ce premier retour à 0 a une espérance infinie.
effectivement, si je ne me suis pas trompé (j'ai fait ça un peu vite), le terme général est équivalent à 1/
(
n), qui diverge.
ah oui ça, par contre , me rappelle de vieux souvenirs !
si tu as le temps, GBZM, tu pourras me confirmer ou infirmer l'équivalent que je proposais ?
Bonjour matheuxmatou,
l'équivalent que tu as donné pour le terme général de la série de somme est exact.
Bonsoir,
je suis encore confus d'avoir écrit une telle bêtise dans mon dernier message.
À matheuxmatou avec la formule de Stirling on a :
C'est mon premier message.
En multipliant par on trouve bien ton équivalent.
Bonsoir verdurin,
il est classique de démontrer l'équivalent de avec la formule de Stirling. Cependant le coefficient
de la formule de Stirling se calcule habituellement à partir des intégrales de Wallis.
Or les intégrales de Wallis permettent d'obtenir directement cet équivalent.
On montre avec une IPP que d'où l'on déduit
puis
par décroissance de la suite
.
On calcule alors d'où l'on déduit
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