Bonjour,
Uniquement pour lancer...

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On est sûr qu'il y aura n dons donc chaque personne comptera une
bille de moins +celle(s) qui lui seront données  variable de 0 à n;
je dirai donc  que le plus grand sac devrait contenir 2+n/2

salut

qu'on parte de trois billes chacun ou de une bille chacun c'est la "même" chose ...

considérons donc le pb suivant :
chacun a une bille et décide la la donner à qui il veut
et notons n le nombre de personnes

on suppose de plus que chacun doit donner obligatoirement sa bille (parce qu'on pourrait décider aussi qu'une personne décide de donner sa bille à ... lui-même   )

une personne reçoit n - 1 billes :

il y a n(n - 1) façons qu'une personne possède n - 1 billes : n choix de cette personne recevant les n - 1 billes des autres et n - 1 choix d'une personne recevant la bille de celui qui reçoit les n - 1 billes !!

une personne reçoit n - 2 billes :

il y a n choix de cette personne puis C(n - 1, n - 3) = C(n - 1, 2) choix des n - 3 personnes donnant leur bille à cette personne puis C(n - 1, 2) choix des deux personnes qui recevront une bille des deux personnes restantes sans qu'il la donne à celui qui en reçoit déjà n - 2
le tout multiplié par le choix de 1 personne parmi les n - 1 recevant la bille de celui qui en reçoit n - 2

ce qui donne             en espérant ne pas avoir fait d'erreur déjà pour ce cas ...

et ainsi de suite ...

en particulier pour toute égalité : n = p q + r avec 0 < r < q on peut considérer p personnes recevant chacune q billes et il reste alors r billes à distribuer parmi les n - p personnes

ça me semble bien compliqué à calculer !!!

bon en fait :

une personne reçoit n - 2 billes :

il faut choisir n - 1 personnes telles que n - 2 donne leur bille à la restante de ce groupe :

et choisir  une personne parmi les n - 1 ne recevant pas les n - 2 billes recevant la bille de la dernière personne

ce qui donne au final

... sans certitude ...

Je pense que de toute façon le maximum est 3p billes
et le minimum 0
Disons que 3p/2 serait une bonne moyenne ,mais j'ai toujours dit
que ce n'était pas mon domaine favori .

La réponse est oui (il est possible de déterminer la moyenne)

J'ai pris le sens où une personne peut se donner à elle-même la bille. Et chaque personne a une bille à donner.

J'ai fait un programme:

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from collections import Counter
from matplotlib import pyplot


def solve(n):
    states = {(0,)*n: 1}

    for _ in range(n):
        new_states = Counter()

        for state, count in states.items():
            state = list(state)
            for i in range(n):
                state[i] += 1
                new_states[tuple(sorted(state))] += count
                state[i] -= 1

        states = new_states

    # print(len(states))
    frequencies = Counter()
    for state, count in states.items():
        frequencies[max(state)] += count

    return frequencies

def main():
    xs = []
    ys = []
    for n in range(1, 50+1):
        frequencies = solve(n)
        total = n**n

        xs.append(n)
        mean = sum(value*freq for value, freq in frequencies.items())
        ys.append(mean/total)
        print(f"{n:2} {mean/total:1.3f} {mean}")

    pyplot.plot(xs, ys)
    pyplot.show()


if __name__ == "__main__":
    main()

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 n f(n)  n^nf(n) 
 1 1.000 1
 2 1.500 6
 3 1.889 51
 4 2.125 544
 5 2.286 7145
 6 2.408 112356
 7 2.509 2066323
 8 2.597 43574336
 9 2.676 1036922769
10 2.749 27486891100
11 2.815 803137535321
12 2.876 25642631336400
13 2.932 888148407804853
14 2.985 33165208812574216
15 3.033 1328185604750416875
16 3.078 56783630865774075136
17 3.120 2581268127178259819297
18 3.160 124322489582200453748268
19 3.197 6324172127062894070727625
20 3.231 338819740472185330445068400
21 3.264 19069521188014413925045217001
22 3.295 1124905350936238554178052470936
23 3.324 69404271080657647941933736093397
24 3.352 4470102760518104595224092552519488
25 3.378 300016689647254555578015767677923625
26 3.403 20949115084358639823366208904864545176
27 3.427 1519593476573394570210492422773887008103
28 3.450 114347639298198062337814544692353472956736
29 3.472 8914644441973897336570606262135106060233669
30 3.493 719175626184999047601532865050823891859122400
31 3.513 59969631693632324495488864233509203138126784131
32 3.533 5163399046308439334617509176613375805945711676416
33 3.552 458583510970218797776343993844153579226143911991873
34 3.570 41973558236969391425541540377538387138754583814729676
35 3.588 3955736092094976203735178282607596138082570972077445625
36 3.605 383542927182885301096494410572983525044657916152055871536
37 3.622 38229306799277726135528229728056920831580456581699048485377
38 3.638 3914293234144044670385033274541515397794505226995485215310904
39 3.654 411415045572753363704330660005160730519618086974077580910467989
40 3.669 44359604304285506725372010171150216447721940915864043931927352000

salut à tous ...

apres echange,  un sac donné peut  contenir entre  2 et  p+1 billes car
(on peut avoir le cas ou une personne donne une bille mais ne recoit rien des autres  , et on peut avoir le cas ou une personne recoit p-1 billes de p-1 personnes ce qui lui donne un solde de  3 - 1 + p-1  = p+1 billes . donc  pour un sac donné le contenu peut prendre les valeurs
{2,3,4,......., p+1}.   .apres donner une moyenne des billes pour un sac donné c'est faisable , j'ai plutot utilisé
un algorithme mais je comprend pas les resultats de Littlefox
et un participant "se donne une bille à lui meme ...   "
mon algo donne avec :  
n = 2 personnes  -->   maximum "moyen" = 3 (normal chaque personne à 3 billes au depart)
n= 3   personnes  --> maximum "moyen" =  3,75
n= 4   personnes  --> maximum "moyen" =  4.03
n= 5   personnes  --> maximum "moyen" =  4.22
n= 6   personnes  --> maximum "moyen" =  4,36
n= 7   personnes  --> maximum "moyen" =  4,47

pour un sac donné la moyenne de son contenu apres echange serait de (p+3)/2

1/ quel est l'intérêt de partir avec trois billes et pas une ? ... et pourquoi pas 4813 billes au départ ?

2/ tu ne dis toujours pas si une personne peut garder sa bille (soit encore se la donner à elle-même) ou doit obligatoirement la donner à un autre ...

et si chaque personne à une bille au depart , j'obtiens :

n = 2 personnes  -->   maximum "moyen" = 1 (normal chaque personne à 1 billes au depart)  et pour quelques valeurs de n :
n= 3   personnes  --> maximum "moyen" =  1.75
n= 4   personnes  --> maximum "moyen" =  2.036
n= 5   personnes  --> maximum "moyen" =  2.23
n= 6   personnes  --> maximum "moyen" =  2.36
n= 7   personnes  --> maximum "moyen" =  2,47

mais si Carpediem , je l'ai ecris :

"chaque personne du groupe  choisit une personne au hasard et lui donne une bille ".
ca implique forcement qu'on prend pas une bille pour se la redonner

imaginons que tu joue réellement à ce jeu   ..tu ne va quand meme pas te donner une bille à toi meme  

le fait de partir avec 3 billes ou une bille par personne ne donne pas les memes resultats    dans mon dernier post j'ai donné des valeurs  du maxi "moyen"  dans le cas ou chacun debute le jeu avec une bille
et dans mon post précédent des valeurs ou chacun debute le jeu avec 3 billes

Bonjour

Imod