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Niveau Licence Maths 1e ann
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Jeu de belotte

Posté par
Vantin
28-04-22 à 16:20

Bonjour ! Je bloque sur cet exercice de probabilité et quand je ne bloque pas, je suis vraiment pas certain de mes réponses, voici l'énoncé :
Le jeu de belote se joue à 4 joueurs, avec un jeu de 32 cartes réparties en 8 cartes de chacune des 4 couleurs Pique, Cœur, Carreau et Trèfle. Chaque joueur reçoit une main de 5 cartes,
puis une des cartes non encore distribuées est révélée.
On suppose que le jeu est parfaitement mélangé avant d'être distribué, ce qui entraîne que
chaque combinaison possible des 4 mains et de la carte révélée est équiprobable.

1. On appelle donne d'un joueur, la partie de la répartition des cartes qu'il connaît : sa main de 5 cartes, et la carte révélée.
Déterminer le nombre de donnes possibles d'un joueur.
Remarque : on ne tient pas compte, dans la définition de la donne d'un joueur, de l'ordre dans lequel il reçoit ses 5 cartes - seuls comptent l'ensemble de 5 cartes qui composent sa main, ainsi que la carte révélée.

Dans la suite de l'exercice, l'hypothèse que le paquet de cartes est parfaitement mélangé avant distribution, signifie que la donne d'un joueur est choisie uniformément parmi toutes les donnes possibles.

2. Quelle est la probabilité, pour un joueur donné, que sa main ne comporte aucune
carte de la même couleur que la carte révélée ?


3a. Quelle est la probabilité, pour un joueur donné, que sa main soit composée d'exactement 5 cartes de la même couleur que la carte révélée ?

3b. Quelle est la probabilité, pour un joueur donné, que sa main soit composée d'exactement 5 cartes de la même couleur que la carte révélée, sachant que la carte révélée
est l'As de Pique ?

4. Quelle est la probabilité que l'un quelconque des 4 joueurs ait une main composée d'exactement 5 cartes de la même couleur que la carte révélée ?

Posté par
Vantin
re : Jeu de belotte 28-04-22 à 16:22

J'ai oublié de poster mes réponses:
1: 32*31*30*29*28*27 donnes possibles
2: 24*23*22*21*20 / 31*30*29*28*27
3a: 7*6*5*4*3/ 31*30*29*28*27
3b : ?
4: ?

Posté par
Vantin
re : Jeu de belotte 28-04-22 à 16:35

Je pense m'être trompé pour la 3a,
je pense que ça serait plutôt 4 *(7*6*5*4*3/ 31*30*29*28*27)
Et pour la 3b, on pourrait écrire:
On note A : " La carte révélée est l'as de pique "
On note B : " L'un des 4 joueurs à une main composée de 5 cartes de couleur pique"

 P_A(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}
 P(A \cap B) =\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3}{31\cdot30\cdot29\cdot28}
 P(A)= \frac{1}{32}

Posté par
GBZM
re : Jeu de belotte 28-04-22 à 17:02

Bonjour,

Commençons par la question 1. Tu n'as pas tenu compter de la remarque :

Citation :
Remarque : on ne tient pas compte, dans la définition de la donne d'un joueur, de l'ordre dans lequel il reçoit ses 5 cartes - seuls comptent l'ensemble de 5 cartes qui composent sa main, ainsi que la carte révélée.

Posté par
Vantin
re : Jeu de belotte 28-04-22 à 17:34

Je crois que je viens de comprendre le sens de la remarque: si on ne tient pas compte de l'ordre ça veut dire que par exemple
"2 de coeur, 3 de coeur, 4 de coeur, 5 de coeur, 6 de coeur "
c'est la même main que "6 de coeur, 3 de coeur, 4 de coeur, 5 de coeur, 2 de coeur "
Donc on doit retirer les 6-uplets identiques:
Donc ça serait 32*31*30*29*28*27 / 6! pour la question 1

Posté par
verdurin
re : Jeu de belotte 28-04-22 à 19:13

Bonsoir,
c'est l'idée mais tu as négligé le fait que la carte retournée n'est pas comme les autres.
En d'autres termes tu peux ranger comme tu veux les cinq cartes de ta main, mais pas en échanger une avec la carte retournée.
Ce n'est pas si évident pour quelqu'un qui n'a jamais joué à la belote.

Posté par
Vantin
re : Jeu de belotte 28-04-22 à 19:47

D'accord si on a pas le droit d'échanger avec la carte du milieu ça réduit à 5!
Concernant les autres questions, est ce que mon raisonnement est bon en admettant que maintenant je divise par le bon nombre de donne total ?

Posté par
verdurin
re : Jeu de belotte 28-04-22 à 20:05

Ta réponse à la question 2 me semble exacte, à condition de rajouter des parenthèses.
Les réponses aux question 3.a. et 3.b. sont identiques.

Posté par
ty59847
re : Jeu de belotte 29-04-22 à 14:24

Pour la 3a,
tu as répondu (7*6*5*4*3)/(31*30*29*28*27), puis tu as changé d'avis, et tu as répondu  4*(7*6*5*4*3)/(31*30*29*28*27)

Explique, en détail, d'où vient chacun de ces nombres. Pourquoi 7, pourquoi 6 , etc  pourquoi 31 ... pourquoi 4.
Pas forcément par écrit, mais au moins dans ta tête.
Si tu sais expliquer chacune des étapes du calcul, alors ton calcul est bon.
Si tu n'es pas sûr dans ton explication... c'est qu'il y a un loup.

Tu peux reformuler la question.
Il y a 4 joueurs, ok, je vais les appeler Alain Bernard Charles et Daniel. A,B,C,D. Maintenant, mes joueurs ont une identité, c'est plus clair.
La question est : quelle est la proba qu'un joueur donné ait telle ou telle combinaison...
Ok, je reformule la question :  quelle est la proba qu'Alain ait telle combinaison.
Je n'ai rien changé à l'énoncé, les calculs seront les mêmes.
Si on me demandait : quelle est la proba que l'un des 4 joueurs ait telle combinaison, ce serait différent, là on parle d'Alain.
D'ailleurs, le cas 'un des 4 joueurs', c'est la question 4.

Dans toutes ces questions de dénombrement, il faut toujours reformuler l'énoncé. Pour bien peser le sens de chaque mot.
Un joueur donné ...   ce n'est pas un joueur quelconque.


On a le même 'piège' avec l'histoire de l'as de pique.
On nous demande dans un premier temps :
On retourne une carte ( la 21ème)  : faites des calculs.
Tu as su faire ces calculs.
On nous dit ensuite que cette 21ème carte est l'as de pique.
Ok ... mais les calculs que tu viens de faire à la question précédente restent valable.
Que cette 21ème carte soit l'as de pique ou n'importe quelle autre carte, la réponse est la même.

Posté par
GBZM
re : Jeu de belotte 29-04-22 à 14:31

Une grosse erreur à corriger : belote s'écrit avec un seul t.

Posté par
Vantin
re : Jeu de belotte 29-04-22 à 15:15

Ok je vais détailler pour la première :
1.
La donne  d'un joueur est consistuée d'une main de 5 cartes ainsi que la carte révélée:
Donc on a 32 possibilités pour la carte révélée et il reste 31 cartes.
Maintenant on distribue 5 cartes pour constituer la main donc on
a 31 possibilités pour la première carte, ... , 27 pour la 5ème.
On applique le principe multiplicatif ce qui donne:

 32\cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28  \cdot 27 = \binom{32}{6}\cdot6!
Maintenant il faut tenir compte du fait qu'on va avoir des mains identiques donc:

 \binom{32}{6}\cdot \frac{6!}{5!} = 6\cdot\binom{32}{6}
2.

 \frac{4\cdot 32 \cdot 5! \cdot \binom{24}{5}}{6 \cdot \binom{32}{6}}
3a =3b cf réponse de verdurin

4. Mais pour la 4, il est seulement possible que l'un des 4 joueurs ait une main de la même couleur que la carte révélée donc
il faut calculer les probabilités que le( joueur 1 ait 5 cartes différentes + le joueur 2 ait 5 cartes différentes + le joueur 3 ait 5 cartes différentes + le joueur 4 5 cartes identiques ) * 2 parmi 4 car il reste deux cartes de la même couleur qui peuvent être soit dans la pioche soit dans la main des joueurs ?

Posté par
ty59847
re : Jeu de belotte 29-04-22 à 15:28

Question 4 :
tu dis : il est seulement possible que l'un des 4 joueurs ait une main de la même couleur que la carte révélée
Précise ta pensée. Argumente.
On pourrait être d'accord avec ça, mais la suite de ce que tu écris est tellement confuse, que du coup, même ça, on le remet en cause.

Tu dis ensuite : il faut calculer les probabilités que le( joueur 1 ait 5 cartes différentes  ...et que bla bla)
Qu'est-ce que ça veut dire ?  le joueur 1 a 5 cartes, et forcément, ces 5 cartes sont différentes, il n'y a pas 2 cartes identiques dans le jeu.
Tu veux peut-être dire :  
* 5 cartes de 5 couleurs différentes
* ou 5 cartes toutes d'une couleur différente de la carte retournée
* ou 5 cartes dont au moins une est de couleur différente de la carte retournée
* ou autre chose ?

Posté par
Vantin
re : Jeu de belotte 29-04-22 à 16:37

Ok je change d'angle d'attaque:
Il est  clair qu'il est impossible que plus d'un joueur ait en main 5 cartes de la couleur de la carte révélée car une couleur ne comporte que 8 cartes et 8 < 11 donc pas assez pour
composer deux mains plus une carte révélée.
On a 4 événénements:
"Joueur 1 a une main composée de 5 cartes de couleur identique à la couleur de la carte révélée"
"Joueur 2 ... "
...
"Joueur 4 ..."
Ces 4 événements seraient globablement incompatibles et ont comme probabilité la réponse 3a
Donc la réponse est 4* la réponse 3a

Posté par
ty59847
re : Jeu de belotte 29-04-22 à 20:09

Oui, c'est plus clair comme ça.
Je ne suis pas 100% fan de la rédaction, mais les éléments à mettre en avant sont là.

3a=3b, ça a été dit, ok.
Mais dans tous les résultats, je ne sais pas trop quelle est ta réponse pour cette question 3a.



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