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Jeu de société - Probabilité

Posté par
mamantins
18-10-18 à 14:08

Bonjour à tous,

Je me permets de venir sur ce forum pour poser quelques questions de probabilités.
Pour faire cours, je m'éclate à créer des jeux de société et pour l'équilibrage je dois faire quelques statistiques.
Et comme je ne suis pas très bon… j'implore votre aide.

En fait… Même si je suis un matheux dans l'âme… Je n'arrive pas à « comprendre » les statistiques.
Je dois faire un blocage... ( ;^_^ )>

Bref, voici mon problème/demande :
Soit un sac opaque de 48 boules.
Elles sont indifférentiables et reparties comme suis :
- 12 boules rouges
- 12 boules vertes
- 12 boules bleues
- 12 boules jaunes

Je tire 7 boules :
Quelles sont les chances d'obtenir au moins 3 boules rouges ?
Quelles sont les chances d'obtenir au moins 3 boules rouges et au moins 1 boule bleue ?
Quelles sont les chances d'obtenir au moins 2 boules vertes et au moins 2 boules jaunes ?

Puis, je tire 14 boules au hasard du paquet que je mets de côté.
Il reste donc 27 boules dans le sac.
Je tire 4 nouvelles boules depuis le sac.
Parmi mes 11 boules (7 + 4) :
Quelles sont les chances d'obtenir au moins 3 boules rouges ?
Quelles sont les chances d'obtenir au moins 3 boules rouges et au moins 1 boule bleue ?
Quelles sont les chances d'obtenir au moins 2 boules vertes et au moins 2 boules jaunes ?

Je pense avoir répondu correctement à la première partie en appliquant manuellement les calculs. Mais je n'arrive pas à en sortir une règle générale.
Je tire 7 boules :
Quelles sont les chances d'obtenir au moins 3 boules rouges ? > 44,52% (Nb Permutation x Proba de piocher une couleur (12 parmi 48) x Proba de piocher la même couleur (11 parmi 47) x Proba de piocher la même couleur (10 parmi 46))
Quelles sont les chances d'obtenir au moins 3 boules rouges et au moins 1 boule bleue ? > 11,87% (Nb Permutation x Proba de piocher une couleur (12 parmi 48) x Proba de piocher la même couleur (11 parmi 47) x Proba de piocher la même couleur (10 parmi 46) x Proba de piocher une autre couleur (12 parmi 45))
Quelles sont les chances d'obtenir au moins 2 boules vertes et au moins 2 boules jaunes ? > 13,06% (Nb Permutation x Proba de piocher une couleur (12 parmi 48) x Proba de piocher la même couleur (11 parmi 47) x Proba de piocher la même couleur (10 parmi 46))


Est-ce que l'un d'entre vous serait capable de m'aider là-dessus ?
Est-ce correct?
Quid de la seconde partie... Je sèche complètement.

Merci beaucoup pour le coup de main.

Mam's

Posté par
flight
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 14:31

salut

Quelles sont les chances d'obtenir au moins 3 boules rouges ?

P( au moins 3 rouges)= 1 - P(0 rouges) - P(1 rouge)-P(2 rouges)

Posté par
flight
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 14:36

Quelles sont les chances d'obtenir au moins 3 boules rouges et au moins 1 boule bleue ?

P( 3R 1B)= 1 - P( < 3R ou  0 B) =
1 - P( < 3R) - P(0 B) + P(<3R 0B)

Posté par
flight
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 14:37

question suivante ,meme raisonnement

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 14:38

Houlà!
Je dois faire fausse route.
Avec ta proposition... j'obtiens une proba incorrect. >_<
P(au moins 3 boules rouges) = 1 - (36/48) - (12/48)-((12/48)x(11/47)) = - 0,058...

Donc j'ai faux dans mon calcul...
(Je sais... je pars de loin.... >_<)

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 14:44

En tout cas merci de t'être penché sur mon problème. (^_^)

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 14:54

Comme le suggère flight, la règle est (je le crois sur parole. 😊 ):
P(au moins 3R) = 1 - P(0 R) - P(1 R) - P (2 R)
Pour moi je résonne ainsi. (C'est surement faux, car le résultat de mon calcul est négatif (>_<)
J'ai P(0 R) égale à 36 possibilités divisées par le nombre de boules (48) = 36/48 = 3/4
J'ai P(1 R) égale à 12 possibilités divisées par le nombre de boules (48) = 12/48 = 1/4
J'ai P(2 R) égale à 12 possibilités divisées par le nombre de boules (48) multiplié par 11 possibilités divisées par le nombre de boules restantes (47) = 0,058

Bilan
1-3/4-1/4-0,058 = - 0,058 … j'ai donc faux.
Mais je me goure où ? ☹

Posté par
flight
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 15:02

P( au moins 3 rouges)= 1 - P(0 rouges) - P(1 rouge)-P(2 rouges) =

1 - C(36,7)/C(48,7) -  C(12,1).C(36,6)/C(48,7)  - C(12,2).C(36,5)/C(48,7)

Posté par
flight
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 15:03

t'a pris des raccourcis dans tes réponses :D

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 15:13

A l'université j'ai eu 1/20 en proba.
A l'époque, je me suis dis que le prof abusait.
Aujourd'hui... je pense qu'il avais raison!

Mais grâce à toi je vois le début de quelque chose.

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 15:14

Houlà!
"qu'il avait raison."
Oui... je suis aussi une quille en orthographe quand je ne me relis pas.

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 17:11

Donc pour ta proposition :
P(  3R   1B)= 1 - P( < 3R ou  0 B) =
1 - P( < 3R) - P(0 B) + P(<3R  0B)

J'ai donc :
P(  3R   1B) = 1- (C(36,7)/C(48,7) + C(12,1).C(36,6)/C(48,7) + C(12,2).C(36,5)/C(48,7) + C(36,7)/C(48,7) + (((C(36,7)/C(48,7) + C(12,1).C(36,6)/C(48,7) + C(12,2).C(36,5)/C(48,7)) . C(36,7)/C(48,7)))

Soit 20,5%
Je suis quand même loin de mes premières estimations. 😊
Mais est-ce que c'est correct ?

Mam's

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 17:14

Houlà...
Les signes mathématiques ont disparus...
Je refais.

P( >=3R et >=1B)= 1 - P(< 3R ou  <0 B) =
1 - P( < 3R) - P(0 B) + P(<3R et 0B)

P( >=3R et >=1B) = 1- (C(36,7)/C(48,7) + C(12,1).C(36,6)/C(48,7) + C(12,2).C(36,5)/C(48,7) + C(36,7)/C(48,7) + (((C(36,7)/C(48,7) + C(12,1).C(36,6)/C(48,7) + C(12,2).C(36,5)/C(48,7)) . C(36,7)/C(48,7)))

Soit 20,5%
Je suis quand même loin de mes premières estimations. 😊
Mais est-ce que c'est correct ?

Mam's

Posté par
flight
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 17:32

je vois un point un peu embetant   ..juste  pour le calcul qui commence par (((C(36,7)/C(48,7) + ....   c'est bien le cas 0 boule rouge et 0 boule bleue) ?

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 18:00

euh... non...

C'est  P(<3R et 0B)
Donc P(<3 R) x P(0 B) =(C(36,7)/C(48,7) + C(12,1).C(36,6)/C(48,7) + C(12,2).C(36,5)/C(48,7)) x (C(36,7)/C(48,7))

Me serais-je fourvoyé... encore.

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 18-10-18 à 19:38

Merci Flight en tout cas.
Je crois que j'ai compris un truc... enfin... pas sur.
Parce que, bien entendu j'ai appliqué ce raisonnement sur pleins de situations possible.
Avoir au moins 4 boules rouges, avoir au moins une boule de chaque couleur...etc.
Merci beaucoup.

Par contre quid de la seconde partie.
Je retire 14 boules dans les boules restantes.
Puis je retire 4 boules.
Mêmes questions donc...
Mais je ne vois pas comment prendre en compte les "probabilités" des 14 boules retirées...

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 19-10-18 à 18:55

J'ai creusé.

Et je n'ai pas trouvé...
Bilan je me suis dit que je ne retire pas 14 boules.
J'ai donc fait un tirage de 4 boules supplémentaires.

Et c'est là que j'ai un phénomène bizarre. (Donc une erreur de calcul... Forcément.)
Quel est le pourcentage de tirer au moins 4 boules bleues et au moins 1 boule rouge et au moins une boule verte en piochant 7 boules.

Je suis la règle de Flight
P(>= 4B et >= 1R et >= 1V) = 1 - P(< 4B) - P(0R) - P(0V) + P(<4B et 0R et 0V)
Avec:
P(< 4B) = C(36,7)/C(48,7) + C(12,1).C(36,6)/C(48,7) + C(12,2).C(36,5)/C(48,7) + C(12,3).C(36,4)/C(48,7)

P(0R) = P0V = C(36,7)/C(48,7)

P(<4B et 0R et 0V) = (((C(36,7)/C(48,7) + C(12,1).C(36,6)/C(48,7) + C(12,2).C(36,5)/C(48,7) + C(12,3).C(36,4)/C(48,7)) . (C(36,7)/C(48,7)) . (C(36,7)/C(48,7)))

Donc
1 - ( C(36,7)/C(48,7) + C(12,1).C(36,6)/C(48,7) + C(12,2).C(36,5)/C(48,7) + C(12,3).C(36,4)/C(48,7) + C(36,7)/C(48,7) + C(36,7)/C(48,7) - (((C(36,7)/C(48,7) + C(12,1).C(36,6)/C(48,7) + C(12,2).C(36,5)/C(48,7) + C(12,3).C(36,4)/C(48,7)) .
(C(36,7)/C(48,7)) . (C(36,7)/C(48,7))) = -0,1594

Le résultat est négatif… donc je me trompe. ☹
Mais où ?

Ca me rend fou...>_<

Posté par
flight
re : Jeu de société - Probabilité 19-10-18 à 19:11

salut

Citation :
Et je n'ai pas trouvé...
Bilan je me suis dit que je ne retire pas 14 boules.


c'est un enoncé donné ou c'est toi qui l'a monté ?

Posté par
verdurin
re : Jeu de société - Probabilité 19-10-18 à 19:20

Bonsoir mamantins.

Citation :
Puis, je tire 14 boules au hasard du paquet que je mets de côté.
Il reste donc 27 boules dans le sac.
Je tire 4 nouvelles boules depuis le sac.

Est ce que les quatorze boules tirées sont visibles ?

Si oui le calcul dépend du résultat de ce tirage, par exemple, si les douze boules rouges sont dans ce tirage alors il n'y a aucune chance d'avoir trois boules rouges ou plus dans ton tirage.
Si non c'est exactement comme si tu tirais sept boules, que tu regardes, puis quatre autres.
Mais dans tous les cas il s'agit de probabilités conditionnelles.
Et les calculs sont toujours assez compliqués, un peu moins dans le second cas.

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 19-10-18 à 19:39

En fait c'est la simulation d'un tour de jeu pour mon jeu de société.
Bilan je fais ce que je veux des 14 boules

(En gros j'en pioche 7 que je connais, et les 2 autres joueurs en piochent également 7 que je ne connais pas donc.)
Mais comme je n'y arrive pas... ben je joue tout seul et donc je ne retire plus les 14 boules.

Mon dernier post est toujours avec seulement 7 boules tirées...
Où est-ce que je me goure dans le calcul ?
Arg…

Posté par
verdurin
re : Jeu de société - Probabilité 19-10-18 à 21:41

De toutes tes questions, la seule à la quelle on peut répondre facilement est :
quelle est la probabilité d'avoir au moins trois boules rouges ?

Au premier tirage :

1-\dfrac{\text{C}_{12}^{0}\cdot\text{C}_{36}^{7}+\text{C}_{12}^{1}\cdot\text{C}_{36}^{6}+\text{C}_{12}^{2}\cdot\text{C}_{36}^{5}}{\text{C}_{48}^{7}}\simeq0,\!231

Avec le second tirage, mais sans connaître le premier :

1-\dfrac{\text{C}_{12}^{0}\cdot\text{C}_{36}^{11}+\text{C}_{12}^{1}\cdot\text{C}_{36}^{10}+\text{C}_{12}^{2}\cdot\text{C}_{36}^{9}}{\text{C}_{48}^{11}}\simeq0,\!563

Pour les autres les calculs sont vraiment compliqués.
Je te conseillerais de faire des simulations informatiques.

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 19-10-18 à 22:09

Excel est mon ami...
Mais sans les bases des probas... C'est un chouilla compliqué.

Avec ton exemple et celui de flight je vais y arriver.

Et tu as raison, je vais me faire une macro qui va faire 100000 tirages.
J'aurais dû y penser avant...
La honte... je suis programmeur de formation en plus...
Je ferais du comptage ensuite..

Posté par
flight
re : Jeu de société - Probabilité 20-10-18 à 18:21

salut

j'ai realisé cette macro ..assez simple si cela te convient  (1000 essais) :

Citation :
Sub simu_tirage()
'- 12 boules rouges
'- 12 boules vertes
'- 12 boules bleues
'- 12 boules jaunes

For i = 1 To 100
  
'on sort de facon aleatoire 14 boules:
1:
  rs = Int(Rnd * 13) 'boules rouges soustraites
  vs = Int(Rnd * 13) 'boules vertes soustraites
  bs = Int(Rnd * 13) 'boules bleues soustraites
  js = Int(Rnd * 13) 'boules jaunes soustraites
  
   If rs + vs + bs + js = 14 Then
   'on passe à la suite :
     tableau = Array(12 - rs, 12 - vs, 12 - bs, 12 - js)  'tableau de la quantité restante pour chaque couleur
          'on opere un tirage de 7 boules et on cherche la proba d'avoir au moins 3 boules rouges
2:
             tirage_rouge = Int(Rnd * ((tableau(0) + 1)))
             tirage_vert = Int(Rnd * ((tableau(1) + 1)))
             tirage_bleu = Int(Rnd * ((tableau(2) + 1)))
             tirage_jaune = Int(Rnd * ((tableau(3) + 1)))
                If tirage_rouge + tirage_vert + tirage_bleu + tirage_jaune = 7 Then
                   If tirage_rouge >= 3 Then
                      n = n + 1 ' compteur du nbr de fois qu'on a au moins 3 boules rouges à chaque boucle
                   End If
                   Else
                   GoTo 2
                End If
                
    Else
    
    GoTo 1
            
    End If
Next
MsgBox Round(n / 1000, 2) ' retourne la proba d'avoir au moins 3 rouges sur 1000 essais

End Sub

Posté par
flight
re : Jeu de société - Probabilité 20-10-18 à 18:22

..à placer dans le module d'une feuille et tester

Posté par
flight
re : Jeu de société - Probabilité 20-10-18 à 18:23

petite correction ici : "for i=1 to 100  lire en faite  for i=1 to 1000 , apres test j obtiens une fréquence d'apparition d'au moins 3 boules rouge qui est de 0,31

Posté par
flight
re : Jeu de société - Probabilité 20-10-18 à 18:31

à 100 000 essais c'est quasiment stable à 0.3

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 20-10-18 à 21:09

Merci!!!
Je teste ce soir.
J'étais parti pour faire une macro aussi.

Mais encore plus basique.
Une macro plaçant dans un tableau 100000 tirages.
Puis j'allais faire des comptages basiques sur le tableau ainsi obtenu.

Je vous tiens au courant.

Merci à tous!

Posté par
flight
re : Jeu de société - Probabilité 21-10-18 à 05:32

dans mon code on part sur  les 48 boules , j'en retire 14 que je met de coté
ensuite dans ce qui reste j'en prélève 7 et je cherche la fréquence de sortie d'au moins 3 rouges ...a adapter si c'est pas exactement ca que tu voulais

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 23-10-18 à 10:02

Bonjour à tous,

Bon après tests, ça marche.
J'ai créé une fonction par type de tirage et faire 100000 tirages à chaque fois.
Et ce en me basant sur l'exemple de flight. (Sans retirer les 14 boules. )

Par contre...
J'ai quand même un couac.

Donc sans retirer les 14 boules, la fonction créée retourne environ 27% de chance d'avoir au moins 3 boules rouges lors d'un tirage de 7 boules parmi les 48.

Citation :
Function STATTRIPLE(TailleDeMain)

For i = 1 To 100000

'on opère un tirage de 7 boules et on cherche la proba d'avoir au moins 3 boules rouge
tableau = Array(12, 12, 12, 12)
1:
    tirage_rouge = Int(Rnd * ((tableau(0) + 1)))
    tirage_vert = Int(Rnd * ((tableau(1) + 1)))
    tirage_bleu = Int(Rnd * ((tableau(2) + 1)))
    tirage_jaune = Int(Rnd * ((tableau(3) + 1)))
        If tirage_rouge + tirage_vert + tirage_bleu + tirage_jaune = TailleDeMain Then
            If tirage_rouge >= 3 Then
                n = n + 1 ' compteur du nbr de fois qu'on a au moins 3 boules rouges à chaque boucle
            End If
        Else
            GoTo 1
        End If
Next
STATTRIPLE = (n / 100000) ' retourne la proba d'avoir au moins 3 rouges sur 100000 essais

End Function



Si je fais le calcul avec la combinatoire mathématique, j'ai 23,12% (confirmé par Verdurin plus haut)

J'ai donc un écart de 4%... c'est raisonnable.... pour ce tirage.

Si je pousse et que je cherche la probabilité d'avoir au moins 2 boules rouges et au moins d'1 boule bleue:
La fonction suivante me retourne environ 27%.


Citation :
Function STATDEUXETUN(TailleDeMain)

For i = 1 To 100000
  'on opère un tirage de 7 boules et on cherche la proba d'avoir au moins 2 boules rouges et au moins une boule   tableau = bleuArray(12, 12, 12, 12)
1:
    tirage_rouge = Int(Rnd * ((tableau(0) + 1)))
    tirage_vert = Int(Rnd * ((tableau(1) + 1)))
    tirage_bleu = Int(Rnd * ((tableau(2) + 1)))
    tirage_jaune = Int(Rnd * ((tableau(3) + 1)))
        If tirage_rouge + tirage_vert + tirage_bleu + tirage_jaune = TailleDeMain Then
            If tirage_rouge >= 2 And tirage_bleu >= 1 Then
                n = n + 1 ' compteur du nbr de fois qu'on a au moins 3 boules rouges à chaque boucle
            End If
        Else
            GoTo 1
        End If
Next
STATDEUXETUN = (n / 100000) ' retourne la proba d'avoir au moins 2 boules rouges et au moins une boule bleue sur 10000 essais

End Function



Mais via le calcul mathématique, j'obtiens 50,5%!
Le voici.
Citation :
P(>= 2R et >= 1B) = 1 - P(< 2R) - P(0B) + P(<2R et 0B)

Avec:
P(< 2R) = C(36,7)/C(48,7) + C(12,1).C(36,6)/C(48,7) = 0,4307

P(0B) = C(36,7)/C(48,7) = 0,1133

P(<2R et 0B) = [(C(36,7)/C(48,7)) + (C(12,1).C(36,6)/C(48,7))] . (C(36,7)/C(48,7))] = 0,0488

P(>= 2R et >= 1B) = 1 - 0,4307 - 0,1133 + 0,0488 = 0,5048 => 50,48%


J'ai donc faux.

Si je fais plus confiance à la fonction qu'au calcul mathématique, est-ce que vous pourriez m'expliquer où je me fourvoie?
L'écart est trop important pour être honnête.

Merci beaucoup.

Mam's

Posté par
flight
re : Jeu de société - Probabilité 24-10-18 à 12:16

salut

surement ici :  P(<2R 0B)

tu a le cas  pas de boules bleu et  pas de boules rouges donc on tire 7 boules parmi 24
donc C(24,7), ensuite tu a le cas 0 boule bleu et  1 boule rouge donc C(12,1)*C(24,6)

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 24-10-18 à 13:52

Ha merdalors!

P(<2R et 0B) est différent de P(<2R)×P(0B)?

Pour le coup je suis perdu...

Posté par
verdurin
re : Jeu de société - Probabilité 24-10-18 à 18:36

Je ne connais pas du tout le langage des macro d'exel.

Mais j'ai la vague impression que les tirages sont avec remise.
C'est à dire que la simulation est fausse.

En particulier, avec cent mille tirages on se retrouve avec quasi-certitude à moins de 1% de la valeur exacte.
Autrement dit une simulation juste a environ une chance sur dix milliards de donner un résultat s'éloignant de la valeur théorique de plus d'un pourcent.

Posté par
verdurin
re : Jeu de société - Probabilité 24-10-18 à 22:17

En faisant une simulation en python

# simulation du tirage de 7 boules parmi 48
# il y a 12 rouges, 12 bleues, 12 vertes et 12 jaunes.

import random as rd
# importation du module random

def un_ech(r,b):
    "renvoie 1 si il y a au moins r rouges et b bleues parmi les 7 tirées"
    rouge=bleu=0
    ech=rd.sample(range(48),7)# tirage de 7 boules sans remise
    for k in ech :
        if k<12 :
            rouge+=1# les rouges vont de 0 à 11
        elif k<24 :
            bleu+=1# les bleues de 12 à 23
	
    return int((rouge>=r) and (bleu>=b))

#programme principal
nb_tirage = int(input("nombres de tirages à faire : " ))
Rouge = int(input(" nombre minimal de rouges : "))
Bleu = int(input(" nombre minimal de bleues : "))

succes=0

for j in range(nb_tirage):
    succes=succes+un_ech(Rouge,Bleu)
print(succes," réussites sur ", nb_tirage, " tentatives ")
print("soit environ ", succes*100/nb_tirage,"%")

j'obtiens
nombres de tirages à faire : 100000
 nombre minimal de rouges :3
 nombre minimal de bleues :0
23106  réussites sur  100000  tentatives 
soit environ  23.106 %

et
nombres de tirages à faire : 100000
 nombre minimal de rouges : 2
 nombre minimal de bleues : 1
48361  réussites sur  100000  tentatives 
soit environ  48.361 %

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 25-10-18 à 00:14

Merci beaucoup.

Pour le coup, il y a remise à chaque "retirage".
Enfin, je le comprends comme ça.
Qu'importe, je vais essayer de piger ton code. (^_^)
Histoire de le mettre sous excel.  

Par ailleurs, je deviens quand même barjo...
Dès que je pense comprendre la théorie... l'ensemble part en quenouille...

En fait je me prends les pieds dans les combinatoires...
Et finalement... Je ne comprends rien...
Et appliquer sans comprendre... ça me rend fou...

Bref, je bouquine quelques cours.

Posté par
verdurin
re : Jeu de société - Probabilité 25-10-18 à 09:18

Dans mon code tout le travail est fait par la fonction random.sample qui tire 7 (c'est le second paramètre) éléments distincts dans la liste (0, 1, . . . ,46, 47) qui s'écrit range(48) en python.

Posté par
verdurin
re : Jeu de société - Probabilité 25-10-18 à 17:41

Sinon on peut faire un peu de maths.

On veut calculer la probabilité d'avoir au moins 2 boules rouges et au moins une boule bleue parmi les 7 boules tirées.

Comme c'est un événement compliqué à écrire ( à cause des « au moins » ) on regarde l'événement contraire.
Qui est :
le nombre de rouge est égal à 0 ou le nombre de rouge est égal à 1 ou le nombre de bleue est égal à 0.
En notant A l'événement :
le nombre de rouge est égal à 0 ou le nombre de rouge est égal à 1
et B l'événement :
le nombre de bleue est 0
on veut calculer P(AB).

Pour ceci on utilise la formule « bien connue »

\text{P}(A\cup B)=\text{P}(A)+\text{P}(B)-\text{P}(A\cap B)

Je pense que tu as compris que \text{P}(A)=\dfrac{\mathsf{C}_{36}^7+\mathsf{C}_{12}^1\mathsf{C}_{36}^6}{\mathsf{C}_{48}^7}

De même \text{P}(B)=\dfrac{\mathsf{C}_{36}^7}{\mathsf{C}_{48}^7}

Il reste à calculer \text{P}(A\cap B).
On décompose A\cap B en deux événements incompatibles : soit (0 rouge et 0 bleue) soit (1 rouge et 0 bleue).
Il vient alors :
\text{P}(A\cap B)=\dfrac{\mathsf{C}_{24}^7}{\mathsf{C}_{48}^7}+\dfrac{\mathsf{C}_{12}^1\mathsf{C}_{24}^6}{\mathsf{C}_{48}^7}

Et enfin
\text{P}(A\cup B)=\dfrac{\mathsf{C}_{36}^7+\mathsf{C}_{12}^1\mathsf{C}_{36}^6+\mathsf{C}_{36}^7-\mathsf{C}_{24}^7-\mathsf{C}_{12}^1\mathsf{C}_{24}^6}{\mathsf{C}_{48}^7}\simeq0,\!5176

On en déduit que la probabilité d'avoir au moins deux rouges et une bleue est environ 0,4824.

Ce qui correspond assez bien avec ma simulation.

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 26-10-18 à 13:50

Ho!
J'ai compris.
Ça vient de faire clic.

Ma difficulté venait de la gestion de l'ensemble de boule restante dans mes combinaison!
Yatta.

Merci beaucoup!

Posté par
verdurin
re : Jeu de société - Probabilité 27-10-18 à 12:15

service

Posté par
mamantins
re : Jeu de société - Probabilité 27-10-18 à 14:29



Quand j'aurais fini tout mes calculs je vous ferais un topo.

Parce que forcement, pour un jeu de société il n'y a pas que 2 boules rouge et 1 boule bleu.
Mais aussi 3 boules rouge et 2 boules bleu...etc.

Bref merci beaucoup pour l'approche mathématique.

Mam's



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