re bonjour,
la commande : \\ permet de revenir à la ligne (tésté et approuvé
démonstration (en blanc):
Jimmy

Citation de bornéo:"Rhaaa les monstres,...."

Milles excuses !

Bon moi je ne sais pas blanquer alors "sans donner toute ma reponse" je suis parti sur ca...

J'appelle a et b les nombres cherches, alors on montre facilement que ab = 2006(a+b) donc 2006 est un diviseur du produit ab.

J'ai alors envisage 3 cas :

1er cas : a et b sont divisibles par 2006

   a = k*2006  et b = k'*2006 avec k et k' des entiers

   on arrive alors a 1/k + 1/k' = 1 qui a pour unique solution k=k'=2

  cela donne le couple trivial a = b = 4012 qui est d'ailleurs la moyenne harmonique de a et b (coucou Estelle )

2e cas : un seul des 2 nombres a et b est divisible par 2006.

par exemple a = 2006k  alors on obtient b = (k/k-1)*2006

k/k-1 ne peut pas etre un entier sinon b est divisible par 2006 (exclus)

  en fait k-1 est premier avec k  donc k-1 divise 2006

cela donne 8 solutions car 2006 a 8 diviseurs 1 2 17 34 59 118 1003 et 2006

k-1 = 1 redonne la solution deja vue
k-1 = 2 donne k = 3 et donc a = 3*2006 = 6018 et b 3*2006/2 = 3009

cela donne donc 8 couples solutions ou 16 si on echange a et b

3e et dernier cas : ni a ni b ne sont divisibles par 2006.

etant donne que ab est divisible par 2006, ab = 2006k= 2*17*59*k

Pour faire court, il faut que les facteurs 2 17 et 59 soient reparties entre a et b (1 ou plusieurs fois) sans que l'un d'entre eux n'en recupere 3

par exemple a = 2k et b=1003k' me donne apres simplification  kk'=2k+1003k' donc k=(k'/k'-2)*1003

k'/k'-2 ne peut pas etre entier sinon k est multiple de 1003 et a est multiple de 2006

en prenant les diviseurs de 1003 on trouve k'= 19 et k' = 61 qui donne encore 2 couples.

etc etc.....

cette methode pour le 3e cas me semble un peu longue, je chercherai peut-etre a faire mieux un peu plus tard

merci pour le remue-meninges

minkus

what a beautiful brainstorming !

Philoo

oui et bien, comme disait recemment je ne sais plus qui, dans les transports en commun...

a propos Philoux, as-tu vu ma PDC ? sur le jeu de NIm

Tout à fait... merci Philoux.

Et merci Jimmy. J'essayerai de m'en souvenir pour mon prochain message blanqué

Bonjour à tous,

Voilà ma proposition.

On recherche A et B tel que : 1/A + 1/B = 1/2006

Soit : 2006 * (A+B) = A * B

Sachant que : 2006= 2*17*59 (facteurs premiers noté « fp »), observons : A (ou B ou les 2) a forcément pour facteur premier l'un des facteurs premiers « fp » de 2006.
1er cas : x est fp de A et de 2006, mais pas de B. Alors : A x B est divisible par x, 2006 aussi, mais pas A +B.  L'égalité 2006 * (A+B) = A * B fonctionne.

Imaginons que x soit fp de A mais plusieurs fois. A est donc divisible par x plusieurs fois, 2006 une fois, et A+B ne l'est pas. Donc A est divisible 1 seule fois par x.

2ème cas : A et B sont divisibles par x, fp de 2006. A x B est divisible par le carré de x, 2006 est divisible par x, A + B est divisible par x.  L'égalité 2006 * (A+B) = A * B fonctionne.

Imaginons comme dans le premier cas que A est divisible plusieurs fois par x, et B 1 fois. Dans légalité 2006 * (A+B) = A * B, le côté gauche est divisible 2 (et seulement 2) fois par x, le côté droit au moins 3 fois. Donc l'égalité ne fonctionne pas.

Même raisonnement si A et B sont chacun multiple plusieurs fois de x : l'égalité ne fonctionne pas.

Conclusion : A et B comprennent chacun les 3 fp de 2006 soit 0 fois, soit 1 fois, sachant que chaque facteur premier et au minimum soit dans A soit dans B.
Pour 2 : 3 possibilités : 2 fp de A, ou 2 fp de B, ou 2 fp de A et de B. Donc 3 solutions.
Même chose pour 17 et 59.

Il y a donc au total 3*3*3 = 27 solutions (symétriques compris).  

Pour confirmer qu'il s'agit du résultat définitif, il est nécessaire de préciser que :
Dans la décomposition en fp de A, il peut donc y avoir une et une seule fois 2, 17 et 59. Calculons z égal à la division de A par ces 3 fp. On a l'égalité :

2006 * (A+B) = A * B s'écrit : 2006 * ((z * fp) +B) = z * fp * B .

Donc 2006 est divisible par fp, mais pas par z. Donc  ((z * fp) +B) doit être divisible par z, donc B doit être divisible par z.

Sachant donc que fp = 2 ou 17 ou 59 (ou une combinaison de ces chiffres), on a donc (fp1 et fp2 correspondant respectivement à A et à B):
A = fp1 * z
B = fp2 * z

Donc : 2006 * (fp1 * z + fp2 * z) = fp1 * z * fp2 * z
Soit : 2006 * (fp1 + fp2) = fp1 * fp2 * z

Connaissant fp1 et fp2 (chacune des 27 solutions), il s'agit d'une équation a 1 inconnue, donc z est unique pour fp1 et fp2 connus.

Conclusion finale : il y a bien 27 solutions !

Merci de votre attention.

Bonjour,

Petit complément pour être complet dans ma proposition ci-dessus.

Il y a 27 solutions, symétriques compris. En fait une seule solution n'a pas de symétrique : chacun des fp (facteurs premiers) 2, 17 et 59 est fp de A et de B.

Toutes les autres solutions (au moins l'un des 3 fp 2, 17 et 59 n'est facteur premier que de A ou de B) ont évidemment un et un seul symétrique.

Il y a donc au total : 13 + 1 = 14 couples (A;B) différents qui répondent à l'équation 1/A + 1/B = 1/2006.

Merci philoux pour cette JFF - PDC énigme !