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Niveau énigmes
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JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) **

Posté par philoux (invité) 02-03-06 à 11:06

Bonjour

Une p'tite JFF qui n'a que d'intérêt que si elle est résolue "à la main" (tout maple, excel et autres programmations sont persona non grata)

Combien y a-t-il de couples d'entiers naturels (s'il y en a...) tels que la somme de leur inverse valle l'inverse de 2006 ?

Bonne réflexion...

Philoux

Posté par
Youpi
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 11:42

salut Philoux.

"Une p'tite JFF qui n'a que d'intérêt que si elle est résolue "à la main""

ça devient ton cheval de bataille ..

c'est qui SG ?

Posté par PythagoreJimmy (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 11:51

Bonjour,
Que veux dire JFF ?
Merci j'essaie de trouver
Jimmy

Posté par
Youpi
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 11:57

JFF = Just For Fun .....

Posté par PythagoreJimmy (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 12:05

Et comment fait-on pour associer des étoiles à notre topic ? Pour le post d'une énigme sur le forum

Merci
Jimmy

Posté par philoux (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 12:12

Salut Youpi

ça devient ton cheval de bataille ..

Simplement pour dire que si le GM se sert d'excel ou de programmation, cette JFF n'a aucun intérêt... (tu t'en doutes, je pense ceci pour beaucoup d'énigmes de l'île qui sont résolues majoritairement avec du soft...).
Mais la tendance semble s'inverser (je pense notamment à savoie, minkus, toi et d'autres que j'oublie...), qui n'hésitent pas, au détriment du temps servant à leur classement, à résoudre et apporter le développement des résolutions "à la main" des énigmes de l'île.
(pour la peine, vous serez les acteurs de la prochaine JFF que je finalise actuellement... )



c'est qui SG ?

Le titre "2006 : année...mathématique" ne te fait pas penser à "69 : année...érotique" ?
tu trouveras alors la signification de SG dont on fête, aujourd'hui même, le 15° anniversaire de sa disparition...

Philoux

Posté par
Youpi
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 12:14

D'accord Philoux , effectivement pour SG j'aurais dû y penser toute seule.

Sinon j'ai déja trouvé quatres couples solutions mais je cherche encore les autres.

Posté par
Youpi
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 12:15

Au fait est ce que tu préféres que je réponde en "Blanqué" ?

Posté par
masterfab2
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 12:17

il me semble qu'il y est bcp de solutions !!

Posté par philoux (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 12:18

Et comment fait-on pour associer des étoiles à notre topic ? Pour le post d'une énigme sur le forum

si on le dit, en clair, les titres des posts risquent d'être tous avec des étoiles...

Un indice pour trouver : la source de la solution est le source...

Philoux

Posté par philoux (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 12:20

Au fait est ce que tu préféres que je réponde en "Blanqué" ?

comme tu veux Youpi : en blanqué, c'est mieux pour une frange de GM qui ne cherchent pas/plus, dès que :

- l'énigme n'est pas officielle ( une JFF par ex. ),

- une partie ou la totalité de la solution est donnée...

C'est toi qui voit...

Philoux

Posté par PythagoreJimmy (invité)Les étoiles ** 02-03-06 à 12:25

Bonjour,
Je crois avoir trouver comment mettre des étoiles.
Vérifions en regardant le titre de mon message.
(suite sur le prochain message)

Posté par PythagoreJimmy (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 12:25

Snif c'est pas ça, ça aurait été si simple pourtant

Jimmy

Posté par philoux (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 12:28

exploite mon indice, car ça coule de source...

Philoux

Posté par PythagoreJimmy (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 12:30

100$\yellow \star<--- avec le latex on obtient une jolie ptite étoile (\star) mais on peut pas mettre de latex en titre

Posté par PythagoreJimmy (invité)**** 02-03-06 à 12:56

hé hé hé j'ai trouvé (la mon message il vaut 4 étoiles (voir titre). Merci pour ton indice philoux
Jimmy

Posté par philoux (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 12:58

tatoubon, comme disait jacques...

Philoux

Posté par PythagoreJimmy (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 13:02

comment fait-on pour devenir posteur d'énigme ?

Jimmy

Posté par philoux (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 13:05

sujet maintes fois abordé

fais une recherche pour voir les échanges à ce sujet (Tom_Pascal et puisea y ont souvent répondu)

sinon : envoie tes énigmes à T_P qui les proposera au "conseil des sages"...

Philoux

Posté par
borneo
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 13:06

Oh oui, please, répondez en blanqué, sinon je ne cherche pas. C'est trop dur de faire défiler les réponses en clair sans regarder...

Posté par PythagoreJimmy (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 13:07

Merci mais qu'est-ce dont que le conseil des sages ?
Je vais voir les topics avec le moteur de recherche

Posté par philoux (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 13:28

comment fait-on pour devenir posteur d'énigme ?


sinon, issu de : [lien]

Philoux

JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG)

Posté par
master_och
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 14:26

Salut philoux
Les solutions sont un peu nombreuses je crois que pour les trouver toutes il faut quand même un programme... non?

Posté par
infophile
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 14:32

Personnelement, je me sers d'excel comme un pied, et je ne sais pas programmer, donc du coup tout ce que je fais c'est à la main

Posté par philoux (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 14:54

master_och

les solutions ne sont pas si nombreuses que celà ...(qu'est-ce que je ne dirais pas pour t'obliger à raisonner plutôt que programmer )

Philoux

Posté par
Youpi
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 14:57

Voici ma soltuion en "blanqué" pour faire durer le suspense :

Le nombre de couples possibles est:   5$ \white 14

Je peux donner les couples si on me le demande, mais ce n'était pas demandé dans la question .....

Posté par
Youpi
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 14:58

Et pour info master_och je n'ai pas utilisé de programme ..mais je me suis peut-être trompé.

Posté par
master_och
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 14:59

voici mon raisonnement
je cherche tous les couples (a,b) tels que a>=b(les couples où b>=a seront évidament les mêmes).
on donc (1/a)+(1/b)=1/2006 ==> (a+b)/(a.b)=1/2006 ==> (a+b)/a = b/2006
or a+b>a ==> ((a+b)/a)>1 ==>(b/2006)>1 ==>b>2006 (1)
D'autre part ona (a+b)/ab=1/2006 ==> 2006a+2006b=ab ==>
a(b-2006)=2006b ==>b/a=2006/(b-2006)
or b<=a ==> (b/a)<=1 ==>(2006/(b-2006))<=1 ==>b<=4012 (2)
de même on peut aboutir facilement à l'égalité suivante:
a=2006b/(b-2006) (3)
ce qui reste à faire alors est de chercher les entiers b compris entre 2007 et 4012  tels que 2006b/(b-2006) soit entier.
j'ai fait un programme qui m'a donner 14 solutions.
je vais pas noter mes solutions puisque tu demande un raisonnement sans informatique.  

Posté par
master_och
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:01

Rien à dire youpi bravo!

Posté par philoux (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:01

dans ce cas d'énigme, un couple (a,b) peut être considéré égal à un couple (b,a)...

Philoux

Posté par
master_och
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:02

donc il y a 27 solutions .

Posté par
Youpi
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:04

oui je n'ai pas considéré les couples symétriques, dans ce cas il y a bien 27 couples possibles.

Posté par
Youpi
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:06

Mais tu n'as pas respecté l'énoncé, pas d'informatique...comme pour les rallyes ou olympiades.

Posté par
Youpi
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:06

Ceci dit je reconnais avoir utilisé une calculatrice ....

Posté par
master_och
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:08

oui je sais que j'ai pas respecter l'énoncé c'est pour ça que je n'ai pas posté mes solution.
Mais j'aimerai bien voir ton raisonnement.

Posté par
master_och
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:10

Enfin je ne sais pas si en niveau terminal on peut résoudre cette énigme sans utiliser un programme ou pas.

Posté par
borneo
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:13

Bon, je n'ai pas regardé...

\rm je fais quelques exemples simples et je remarque que 1/2 = 1/3 + 1/6
 \\ 1/3 = 1/4 + 1/12 
 \\ 1/4 = 1/5 + 1/20
 \\ 1/5 = 1/6 + 1/30 et je me dis que 1/a = 1/b + 1/a*b
 \\ ce qui m'avance déjà bien. En plus b = a + 1
 \\ donc je généralise avec a=2006 b = 2007 et a*b = 2006*2007 = 4026042
 \\ 
 \\ donc les deux nombres cherchés sont 2007 et 4026042
 \\ 
 \\ mais j'ai tout de même vérifié ma réponse avec l'ami excel (les calculettes de mon école ne sont pas assez puissantes...\white

merci pour l'énigme

Posté par
borneo
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:16

Misère, j'ai encore foiré le blanqué...
o scour !!! Je remets juste mes réponses, pas le temps pour la démo, je n'ai plus que 5 min de récré.

\rm 2007 et 4026042\white

Encore merci pour l'énigme, et désolée, je n'écoute jamais quand on m'explique

Posté par
borneo
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:19

Je viens de relire l'énoncé... ça peut toujours servir. Je retourne chercher s'il y a d'autres couples. En fait je n'en ai cherché qu'un, le plus évident, mais il doit y en avoir d'autres, j'imagine. Sur ce coup-là, c'était le poisson assuré

Posté par
Youpi
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:22

Je te donne une partie de la réponse:

2006 a pour diviseurs 1; 2; 17; 34; 59; 118; 1003; 2006

J'ai établie que si a et b sont des diviseurs de 2006 (a*b=2006)  alors A=(a+b)*(2006/a) et B=(a+b)*(2006/b) forment un couple solution (A,B)

Posté par
Youpi
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:23

oups désolé Bornéo, c'était pour master_och ...

Posté par
master_och
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:28

Et t'es arrivé à demontrer que se sont les uniques solutions?

Posté par philoux (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:30

2006=1*2*17*59

Philoux

Posté par
Youpi
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:31

Et t'es arrivé à demontrer que se sont les uniques solutions?

oui tous les couples solutions sont de cette forme.

Posté par
master_och
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 15:34

bah bravo, je vais essayer quand même de trouver les solutions sans programme.

Posté par
master_och
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 16:10

Il est trés facile de vérifier que (2006(a+b)/a) et (2006(a+b)/b) sont des solutions du probleme mais je n'arrive pas à demontrer que se sont les uniques solutions et le pire et que j'arrive même pas à imaginer comment t'es arrivé à trouver cette formule.
Youpi est ce que tu peux me donner un petit coup de pouce stp?  

Posté par
master_och
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 16:11

a et b étant biensure des diviseurs de 2006.

Posté par
borneo
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 17:21

Je continue... sachant que je n'ai pas une réponse ferme et définitive.
\rm j'ai fini par me rendre compte, toujours en 
 \\ 
 \\ bidouillant avec de petites fractions que la formule est
 \\ 
 \\ 1/a = 1/(a+n) + n/(a(a+n)) tout simplement avec 1/5 = 1/8 +3/40\white

\rm donc il faut que a(a+n) soit divisible par n\white

\rm avec a=2006 il faut chercher les facteurs premiers
 \\ qui sont 1;2;17;59 \white

\rm et on bidouille tout ça pour trouver tous les n 
 \\ 
 \\ possibles, moi je n'avais trouvé que 1 \white

\rm je suppose qu'il doit y avoir aussi 2*17; 2*59; 17*17... \white

Bon, si mon message en blanc est encore lamentable... j'abandonne. Merci Philoux. Pas facile de faire classe quand on a une énigme dans la tête

Posté par philoux (invité)re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 17:23

je suppose aussi que ça ne doit pas être facile de faire l'énigme quand on a une classe dans la tête

Philoux

Posté par
borneo
re : JFF : 2006, année ...mathématique (clin d oeil à SG) ** 02-03-06 à 17:25

Rhaaa les monstres, et moi qui m'enquiquine à faire du blanqué. je vois qu'avec les diviseurs de 2006, je n'étais pas très loin de la réponse. Si une âme charitable peut me rééxpliquer comment on fait un joli message en blanc sans que ça fasse un mètre de large... ça pourra aussi rendre service aux autres participants.

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