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JFF : encore des polynômes **

Posté par neo (invité) 25-06-06 à 14:48

Salut,

Soit 4$P un polynôme de degré 4$2003 tel que pour tout 4$k dans 4$[0,...,2003], 4$P(k)=\frac{k}{k+1}.

Déterminer P(2004).

Bonne chance !

Posté par
borneore : JFF : encore des polynômes 25-06-06 à 14:55

Salut neo. Tu ne mets pas d'étoile à ta JFF ? Elle a l'air dure...
(ou l'air dur, si on veut écrire en français correct )

Posté par neo (invité)re : JFF : encore des polynômes 25-06-06 à 14:58

oups j'ai complétement oublié !!
Peut-être qu'un modérateur peut mettre 2 étoiles ?

Posté par
plumemeteorere : JFF : encore des polynômes 25-06-06 à 15:12

Bonjour, Borneo !
Elle a l'air dure est correct, car dure se rapporte à elle (attribut) et non à air.

Posté par
Nightmarere : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 15:17

C'est fait

Posté par neo (invité)re : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 15:18

Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 16:11

Je tente :

 Cliquez pour afficher
?

Posté par neo (invité)re : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 18:11

k est entier bien sûr !

Posté par
benitoelputoamore : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 18:36

Neo, j'ai trouvé qualque chose...

Posté par
benitoelputoamore : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 18:36

*quelque

Posté par
benitoelputoamore : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 19:00

C'est bon, j'ai trouvé!

Je trouve

 Cliquez pour afficher


J'ai bon?

Benoît

Si c'est juste, je mettrai la méthode après...

Posté par
benitoelputoamore : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 19:06

Alors, Neo?

Posté par neo (invité)re : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 19:14

oui !
Mais la JFF continue pour les autres
Je donnerai bien entendu une correction.

Posté par neo (invité)re : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 19:20

N'oublie pas de blanker surtout !!

Posté par
benitoelputoamore : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 19:43

Ok je blanke.

 Cliquez pour afficher


Benoît

Posté par neo (invité)re : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 19:45

J'ai presque la même démo.
T'es sûr que t'es en troisième ?

Posté par
benitoelputoamore : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 20:06

 Cliquez pour afficher

Posté par neo (invité)re : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 20:12

Personne d'autre ??

Posté par
Nightmarere : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 21:27

Bonjour

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Posté par neo (invité)re : JFF : encore des polynômes ** 25-06-06 à 23:12

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : JFF : encore des polynômes ** 26-06-06 à 10:10

Pour ma part,

 Cliquez pour afficher


Nicolas

Posté par
Tigweg Correcteurre : JFF : encore des polynômes ** 26-06-06 à 14:15

Salut,

 Cliquez pour afficher


Tigweg

Posté par neo (invité)re : JFF : encore des polynômes ** 26-06-06 à 14:46

Merci d'avoir participé !!

4$P est de degré 4$2003 tel que 4$P(k)=\frac{k}{k+1} c'est-à-dire que 4$(k+1)P(k)-k=Q(k)=0 pour 4$k\in [0,2003]

On a donc 4$Q(X)=(X+1)P(X)-X \in \mathbb{R}_{2004}

On a donc 4$Q(X)=\lambda \prod_{k=0}^{2003} (X-k)

D'autre part, 4$Q(-1)=1 et donc 4$\lambda \prod_{k=0}^{2003} (-1-k) = 1 et donc finalement on a 4$\lambda (2004)!=1 soit 4$\lambda=\frac{1}{(2004)!}

Donc 4$Q(2004)=\frac{1}{2004} \prod_{k=0}^{2003} (2004-k) = 1

On a donc 4$P(2004)=\frac{Q(2004)+2004}{2005}=1

Donc 4$P(2004)=1

sauf erreurs

Neo

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : JFF : encore des polynômes ** 26-06-06 à 16:25

Bonjour,

Voici une solution alternative montrant que, même si, comme moi, on ne voit pas l'astuce, quelques calculs (bien "bourrins", il est vrai) permettent tout de même de conclure. On peut (presque toujours !) s'en sortir.

P est un polynôme de degré 2003 dont on connaît 2004 couples (antécédent, image). On peut donc l'exprimer sous forme de polynôme d'interpolation de Lagrange (cf. http://homeomath.imingo.net/lagrange.htm) :
P(X)=\Bigsum_{i=0}^{2003}\left(\frac{i}{i+1}\Bigprod_{\begin{array}{c}0\le j\le 2003\\j\not =i\end{array}}\frac{X-j}{i-j}\right)
Donc :
P(2004)=\Bigsum_{i=0}^{2003}\left(\frac{i}{i+1}\Bigprod_{\begin{array}{c}0\le j\le 2003\\j\not =i\end{array}}\frac{2004-j}{i-j}\right)
Simplifions l'expression du numérateur et du dénominateur à la fin de l'expression :
\Bigprod_{\begin{array}{c}0\le j\le 2003\\j\not =i\end{array}}(2004-j) = \frac{2004!}{2004-i}=\frac{2004\cdot 2003!}{2004-i} \\ \begin{array}{lcl} \\ \Bigprod_{\begin{array}{c}0\le j\le 2003\\j\not =i\end{array}}(i-j) & = & (i-0)(i-1)(i-2)...(i-(i-1))\times (i-(i+1))(i-(i+2))...(i-2003)\\ \\ & = & i!\;(-1)(-2)(-3)...(-(2003-i))\\ \\ & = & i!(-1)^{2003-i}(2003-i)!\\ \\ & = & (-1)^{i+1}i!(2003-i)! \\ \end{array}
On reporte dans l'expression de P(2004) :
\fbox{P(2004)=2004\Bigsum_{i=0}^{2003}\frac{i}{i+1}\,\frac{1}{2004-i}(-1)^{i+1}{2003\choose i}}
Sympa, non ?

Nous ne sommes tout de même pas très inquiets. Cela "ressemble" à
\Bigsum_{i=0}^{n}i{n\choose i}=n2^{n-1}
\Bigsum_{i=0}^{n}\frac{1}{i+1}{n\choose i}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}
On va procéder de la même façon que celle qui est d'habitude utilisée pour montrer les 2 égalités ci-dessus : introduire une variable réelle x puis dériver, intégrer...

D'après la formule du binôme de Newton :
\forall x\in\mathbb{R},\;2004(x-1)^{2003}=2004\Bigsum_{i=0}^{2003}{2003\choose i}x^i(-1)^{2003-i}
\forall x\in\mathbb{R},\;2004(x-1)^{2003}=2004\Bigsum_{i=0}^{2003}{2003\choose i}x^i(-1)^{i+1}
On dérive par rapport à x :
\forall x\in\mathbb{R},\;2004\cdot 2003(x-1)^{2002}=2004\Bigsum_{i=1}^{2003}{2003\choose i}i\cdot x^{i-1}(-1)^{i+1}
On multiplie par x :
\forall x\in\mathbb{R},\;2004\cdot 2003x(x-1)^{2002}=2004\Bigsum_{i=1}^{2003}{2003\choose i}i\cdot x^{i}(-1)^{i+1}
On complète par l'indice i=0 :
\forall x\in\mathbb{R},\;2004\cdot 2003x(x-1)^{2002}=2004\Bigsum_{i=0}^{2003}{2003\choose i}i\cdot x^{i}(-1)^{i+1}
On intègre par rapport à x :
\forall x\in\mathbb{R},\;2004\cdot 2003\Bigint_0^xt(t-1)^{2002}\mathrm{d}t=\Bigint_0^x\left(2004\Bigsum_{i=0}^{2003}{2003\choose i}i\cdot t^{i}(-1)^{i+1}\right)\mathrm{d}t
\forall x\in\mathbb{R},\;2004\cdot 2003\Bigint_0^xt(t-1)^{2002}\mathrm{d}t=2004\Bigsum_{i=0}^{2003}{2003\choose i}\frac{i}{i+1}\cdot x^{i+1}(-1)^{i+1}
On réalise une intégration par parties dans le membre de gauche :
\forall x\in\mathbb{R},\;2004x(x-1)^{2003}-(x-1)^{2004}+1=2004\Bigsum_{i=0}^{2003}{2003\choose i}\frac{i}{i+1}\cdot x^{i+1}(-1)^{i+1}
On divise par x^{2006} :
\forall x\in\mathbb{R}^*,\;2004\frac{(x-1)^{2003}}{x^{2005}}-\frac{(x-1)^{2004}}{x^{2006}}+\frac{1}{x^{2006}}=2004\Bigsum_{i=0}^{2003}{2003\choose i}\frac{i}{i+1}\cdot x^{i-2005}(-1)^{i+1}
On intègre par rapport à x, sous réserve que le membre de droite soit défini, ce que l'on va vérifier immédiatement :
\forall x>0,\;\Bigint_{x}^{+\infty}\left(2004\frac{(t-1)^{2003}}{t^{2005}}-\frac{(t-1)^{2004}}{t^{2006}}+\frac{1}{t^{2006}}\right)\mathrm{d}t=\Bigint_{x}^{+\infty}\left(2004\Bigsum_{i=0}^{2003}{2003\choose i}\frac{i}{i+1}\cdot t^{i-2005}(-1)^{i+1}\right)\mathrm{d}t
\forall x>0,\;\Bigint_{x}^{+\infty}\left(2004\frac{(t-1)^{2003}}{t^{2005}}-\frac{(t-1)^{2004}}{t^{2006}}+\frac{1}{t^{2006}}\right)\mathrm{d}t=-2004\Bigsum_{i=0}^{2003}{2003\choose i}\frac{i}{i+1}\,\frac{1}{i-2004}\cdot x^{i-2004}(-1)^{i+1}
En choisissant x=1, on reconnait P(2004) à droite, et il vient :
P(2004)=\Bigint_{1}^{+\infty}\left(2004\frac{(t-1)^{2003}}{t^{2005}}-\frac{(t-1)^{2004}}{t^{2006}}+\frac{1}{t^{2006}}\right)\mathrm{d}t
On remarque que \Bigint_1^{+\infty}\frac{(t-1)^n}{t^{n+2}}\mathrm{d}t=\Bigint_1^{+\infty}\frac{1}{t^2}\left(1-\frac{1}{t}\right)^n\mathrm{d}t=\frac{1}{n+1}\left[\left(1-\frac{1}{t}\right)^{n+1}\right]_1^{+\infty}=\frac{1}{n+1}, donc :
P(2004)=2004\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005}+\frac{1}{2005}

5$\fbox{P(2004)=1}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Fractalre : JFF : encore des polynômes ** 26-06-06 à 16:33

Bonjour,
Waouh, faut avoir du courage pour faire tout ça (et pour le taper en LaTeX)

En tous cas j'en connais un qui sera content s'il passe par là

Fractal

Posté par
Skopsre : JFF : encore des polynômes ** 26-06-06 à 16:37

Quand on est ingénieur, on peut se la péter en mettant n'importe quel calculs en arrivant au bon résultat

Merci

Skops

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : JFF : encore des polynômes ** 26-06-06 à 16:38

Salut Fractal.

Du courage, non. Nécessité fait loi. Je suis comme beaucoup de Mathîliens : tout énoncé posté sur le forum apparaît comme une provocation, dont il faut venir à bout, avec les armes dont on dispose.

Je pensais justement à celui-qui-sera-peut-être-content en écrivant tout cela.

Nicolas

Posté par
Skopsre : JFF : encore des polynômes ** 26-06-06 à 16:40

Citation :
Voici une solution alternative montrant que, même si, comme moi, on ne voit pas l'astuce


Genre, j'ai pas vu l'astuce, je me la joue

Skops

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : JFF : encore des polynômes ** 26-06-06 à 16:40

Tiens le voilà.

Bonjour Skops.

"Se la péter", sûrement pas. On se croise depuis assez longtemps pour que tu puisses m'épargner cela, non ?

Quel piètre opinion tu sembles avoir des ingénieurs !

Nicolas

Posté par
Skopsre : JFF : encore des polynômes ** 26-06-06 à 16:44

Ca fait quand même style quand tu nous déballes un gros truc en latex

Quand je dis ingénieur, c'est parce que c'était ton niveau, je dirais que tout ce qui ont fait des études poussées en maths peuvent mettre plein de formules que je comprend rien (Quand je comprend rien, je trouve ca joli )

Skops

Posté par neo (invité)re : JFF : encore des polynômes ** 26-06-06 à 20:06

ouah !!
Effectivement superbe démonstration Nicolas !
Faut quand même avoir l'idée des polynômes de Lagrange, bien qu'ils soient partout

Je suis heureux que cette JFF ait attiré tant de monde !

Merci à tous(tes)

Neo

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : JFF : encore des polynômes ** 27-06-06 à 05:13

Bonjour neo,

Merci pour ton appréciation sympathique, mais trop indulgente.
A mes yeux, la démonstration la plus élégante est... la plus courte, c'est-à-dire celle que tu proposes.
La mienne n'est qu'une solution de secours, quand on est au pied du mur, et en manque de LaTeX.

Nicolas


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