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JFF : Entreprise Mathîlienne de Peinture (EMP) 
Bonjour,
Mathurin MATHADOR est responsable d'une entreprise de peinture; il doit s'organiser, avec ses deux fils Mathias et Mathieu, chefs d'équipe, pour peindre 4 pièces en 4 jours.
Les quatre pièces sont :
- 2 pièces P1 et P2 de surface dans un rapport P1/P2=k=9/5,
- 2 pièces P3 et P4 de surface dans le même rapport P3/P4=k=9/5.
Mathurin prévoit le chantier selon le planning suivant :
- Lundi matin : les équipes de Mathias et Mathieu commencent à peindre P1,
- Lundi après-midi : l'équipe de Mathias termine P1 tandis que l'équipe de Mathieu commence P2,
- Mardi matin et après-midi : une équipe de n ouvriers termine P2.
- Mercredi matin : les équipes de Mathias et Mathieu commencent à peindre P3,
- Mercredi après-midi : l'équipe de Mathieu termine P3 tandis que l'équipe de Mathias commence P4,
- Jeudi matin et après-midi : une équipe de 2n ouvriers termine P4.
Sachant que tous les peintres travaillent à la même allure et qu'ils peignent autant le matin que l'après-midi, déterminer le nombre minimal de peintres pour chacune des équipes de Mathias et Mathieu.
Mêmes questions pour :
- k = 2
- k = 3
Montrer que, quelquesoit k, on a relation suivante entre le nombre d'ouvriers par équipe :
(nombre d'ouvriers de l'équipe de Mathieu) /(nombre d'ouvriers de l'équipe de Mathias) = (p+1)/p, p entier.
Bonne résolution,
Philoux
(en espérant ne pas avoir fait d'erreur...)
Nota :
Pour ceux que cela intéresse, cf. lyonnais ici 
La grille effacée., voici l'énigme initiale que l'on m'a fait parvenir et à partir de laquelle j'ai élaboré celle ci-dessus.
Pour l'anecdote, cette énigme plaisait beaucoup, paraît-il, à l'écrivain Léon Tolstoï :
"
Une équipe de faucheurs avait à faucher deux prés dont l'un était deux fois plus grand que l'autre.
Durant une moitié de la journée, l'équipe a fauché une partie du grand pré; ensuite elle s'est divisée en deux groupes égaux : les faucheurs du premier groupe sont restés sur le grand pré, qu'ils ont fini de faucher vers le soir; ceux du second groupe ont fauché le deuxième pré également jusqu'au soir, mais il en est resté une parcelle qu'un faucheur a terminée le lendemain en une journée de travail.
Combien de faucheurs y avait-il dans l'équipe ?
"
pour la première question, k=9/5, je trouve 27 pour Mathias et 36 pour Mathieu et n=7, ce qui fait beaucoup d'ouvriers en train de peindre la même pièce.
pour k=2, 16 et 20 avec n=3; pour k=3, je crois que a=b=1 et n=0
De façon générale, si a est le nb de peintres de Mathias et b celui de Mathieu, on a
k=(2a+b)/(b+2n)=(a+2b)/(a+4n)=3a/(2b-a)=3/(2b/a-1)
donc b/a=(k+3)/2k, ce qui n'est de la forme demandée que pour des valeurs particulières de k...
Presque piepalm
k=9/5 => 36/27 = 4/3
k=2 => 20/16 = 5/4
Je t'assure que l'on peut arriver à n+1/n (sauf pour k=3)...
Sauf erreur bien entendu (cf. elhor 
)
Philoux
ça ne marche que pour k=3p/(p+2)
donc pour k=1 (p=1), k=3/2 (p=2), k=9/5 (p=3), k=2 (p=4), k=15/7 (p=5), k=9/4 (p=6)
k=7/3 (p=7), k=12/5 (p=8), etc...
On voit que dans les valeurs croissantes de k, il n'y a pas 4/3 ni 5/3, ni 11/5, ni 13/6, etc... et encore moins des valeurs non rationnelles!
Bonjour,
Voici une résolution; peut-être y a-t-il plus rapide, plus élégant.
J'appelle :
- a le nombre d'ouvriers de l'équipe de Mathias,
- b le nombre d'ouvriers de l'équipe de Mathieu.
Je traite le cas général où k est une valeur littérale.
La peinture de P1 et P2 entraîne :
(a+b)+a=k(b+2n) soit
2a+(1-k)b=2kn
La peinture de P3 et P4 entraîne :
(a+b)+b=k(a+2.2.n) soit
(1-k)a+2b=4kn
d'où le système (S) :
2a+(1-k)b=2kn
(1-k)a+2b=4kn
Le déterminant vaut D=4-(1-k)²=4-1+2k-k²=3+2k-k²=(3-k)(1+k)
Ce déterminant n'est nul que pour la valeur positive de k=3
Traitons le cas k=3 à part :
2a-2b=2kn
-2a+2b=4kn
la seule valeur de n rendant ce système possible est n=0, ce qui fournit a=b.
Les équipes minimales sont alors réduites à 1 personne.
Dans le cas où k <>3, le déterminant D n'est pas nul et il est possible d'exprimer a et b en calculant Da et Db :
Da = 2(2kn) -(1-k)(4kn) = 4k²n
Db = 2(4kn)-(1-k)(2kn) = 2k(3+k)n
a = 4k²n/(3-k)(1+k)
b = 2k(3+k)n/(3-k)(1+k)
a et b positifs imposent k € ] 0 ; 3 [
Pour k=9/5,
2a+(-4/5)b=18n/5 => 5a-2b=9n
(-4/5)a+2b=36n/5 => -2a+5b=18n
=> 7a=27n et 7b=36n
Les valeurs minimales sont n=7, a=27 et b=36
Pour k=2,
2a-b=4n
-a+2b=8n
=> 3a=16n et 3b=20n
Les valeurs minimales sont n=3, a=16 et b=20
Pour le rapport b/a, si piepalm 23:37 pouvait me dire où se trouve l'erreur :
De :
a = 4k²n/(3-k)(1+k)
b = 2k(3+k)n/(3-k)(1+k)
On tire :
b/a = 2k(3+k)n/4k²n
puis :
b/a = (3+k)/2k
On a, par ailleurs, :
2a+(1-k)b=2k(n)
(1-k)a+2b=2k(2n)
par addition :
(3-k)(a+b)=2k(n+2n)
(a+b) = (2k/(3-k))(n+2n)
2k/(3-k) entier => 2k/(3-k) = p => (2+p)k = 3p => k=3p/(2+p)
reportons k dans b/a = (3+k)/2k = (3(2+p)+3p)/6p = (6+6p)/6p
b/a = (p+1)/p
Effectivement, avec 4/3 on n'a pas (p+1)/p
Philoux
Pourquoi poses-tu que 2k/(3-k) est entier? simplement son produit par 3n est entier.
si je prends k=4/3, 2k/(3-k)=8/5 avec n multiple de 5, a+b sera entier
dans ce cas a=64n/35 b=104n/35 donc avec n=35, a=64 et b=104 et b/a=13/8 qui n'est pas de la forme (p+1)/p
Bonjour,
Je viens de comprendre, grâce à ton explication, pourquoi j'arrive à ce résultat.
Quand je cherchais à créer l'énoncé, j'avais écrit :
"- Jeudi matin et après-midi : une équipe de n' ouvriers termine P4."
ce qui fait que j'aboutissais à :
(a+b) = (2k/(3-k))(n+n')
d'où mon 2k/(3-k) entier.
Quand j'ai voulu simplifier l'énoncé pour le rendre résolvable sans trop d'inconnues, j'ai posé n'=2n
Merci
Philoux
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