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JFF : * Equation différentielle *

Posté par
gui_tou 17-10-07 à 19:32

Salut tout le monde

Je vous propose une équa diff, plutôt sympa au début, mais qui se corse un peu pour en dégager l'ensemble des solutions

La voici :

Citation :
4$\rm Resoudre : \fbox{\blue (E) : xy' - 2ny = \frac{x}{1+x^2}} \;avec n\in\mathbb{N^{\ast}}


A vous

Posté par
1 Schumi 1re : JFF : * Equation différentielle * 17-10-07 à 19:39

Salut,

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Ayoub.

Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 17-10-07 à 19:40

Salut Ayoub

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Posté par
1 Schumi 1re : JFF : * Equation différentielle * 17-10-07 à 19:41

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gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 17-10-07 à 19:44

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1 Schumi 1re : JFF : * Equation différentielle * 17-10-07 à 19:50

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gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 17-10-07 à 19:54

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1 Schumi 1re : JFF : * Equation différentielle * 17-10-07 à 19:55

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Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 17-10-07 à 21:02

Up

Posté par
infophilere : JFF : * Equation différentielle * 18-10-07 à 06:45

Je me la garde au chaud pour vendredi soir, sinon je vais pas réviser mon anglais

Posté par
infophilere : JFF : * Equation différentielle * 19-10-07 à 17:37

Bonsoir

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Posté par
infophilere : JFF : * Equation différentielle * 19-10-07 à 17:39

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Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 19-10-07 à 19:17

Salut Kévin

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Posté par
infophilere : JFF : * Equation différentielle * 19-10-07 à 19:20

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gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 19-10-07 à 19:30

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infophilere : JFF : * Equation différentielle * 19-10-07 à 20:13

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Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 20-10-07 à 21:53

Je poste la solution ?


Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 21-10-07 à 11:19

Si je n'ai pas d'avis contre je poste ce soir, ok ?

Posté par
infophilere : JFF : * Equation différentielle * 21-10-07 à 12:38

Salut guitou

N'attend pas après moi j'ai mon DM à finir et deux copines à voir ^^

A+

Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 15:34

Pour ceux que ça intéresse, je poste une réponse :

\Large \rm%20Resoudre%20:%20\fbox{\blue%20(E)%20:%20xy'%20-%202ny%20=%20\frac{x}{1+x^2}}%20\;avec%20n\in\mathbb{N^{\ast}}

On résout \fbox{\Large \rm (E') : y'-\frac{2n}{x}y=\frac{1}{1+x^2} sur I_1=\]-\infty,0\[ , I_2=\]0,+\infty[

Par la suite, on se limite à la résolution de (E') sur I_2.

1ère étape : Résolution de l'homogène ({E'}_0) : \fbox{\Large y'-\frac{2n}{x}y=0

Les solutions de l'homogène sont toutes de la forme :

\fbox{\magenta \rm \Large y(x)=Kx^{2n} avec x\in I_2, K\in\mathbb{R}

2ème étape : Une solution de (E')

On applique la méthode de variation de la constante. On suppose K dérivable sur I_2 et on pose,
\rm \large \forall x\in I_2, y(x)=K(x)x^{2n} \\ y'(x)=K'(x)x^{2n}+2nK(x)x^{2n-1}

y solution de (E') \large \rm \Leftrightarrow y'(x)-\frac{2n}{x}y=\frac{1}{1+x^2}
y solution de (E') \large \rm \Leftrightarrow K'(x)x^{2n}=\frac{1}{1+x^2}
y solution de (E') \large \rm \Leftrightarrow K'(x)=\frac{1}{(1+x^2)x^{2n}} \\

On résout :  \blue \Large \rm \{K'(x)=\frac{1}{(1+x^2)x^{2n}} \\x\in I_2

On sait que 3$\rm%201+u+u^2+...+u^p=\frac{1-u^{p+1}}{1-p}%20pour%20u\not=1

3$ u=-t^2 donne \Large \rm \Bigsum_{k=0}^p t^{2k}{(-1)}^k=\frac{1-{(-1)}^{p+1}t^{2p+2}}{1+t^2} et donc \Large \rm \frac{1}{1+t^2}=\Bigsum_{k=0}^p \big[t^{2k}{(-1)}^k\big]+\frac{{(-1)}^{p+1}t^{2p+2}}{1+t^2}

On cherche K(x) tel que \large \rm K(x)=\Bigint_1^x \frac{1}{(1+t^2)t^{2n}} dt

\Large \rm \frac{1}{(1+t^2)t^{2n}}=\Bigsum_{k=0}^p \big[t^{2k-2n}{(-1)}^k\big]+\frac{{(-1)}^{p+1}t^{2p+2-2n}}{1+t^2}

On choisit 3$\magenta \fbox{p=n-1


\Large \rm \frac{1}{(1+t^2)t^{2n}}=\Bigsum_{k=0}^{n-1} \big[t^{2k-2n}{(-1)}^k\big]+\frac{{(-1)}^{n}}{1+t^2}

Et là c'est facile à intégrer :

\LARGE \rm K(x)=\Bigsum_{k=0}^{n-1} \Big[{(-1)}^k\big[\frac{t^{2k-2n+1}}{2k-2n+1}\big]_1^x\Big]+{(-1)}^{n}\big[Arctan x\big]_1^x

D'où

\Large \red \fbox{ \rm K(x)=\Bigsum_{k=0}^{n-1} \Big[{(-1)}^k\frac{x^{2k-2n+1}}{2k-2n+1}\Big]+{(-1)}^{n}.Arctan x

Une solution de (E') est \Large \rm u(x)=\Bigsum_{k=0}^{n-1} \Big[{(-1)}^k\frac{x^{2k+1}}{2k-2n+1}\Big]+x^{2n}{(-1)}^{n}.Arctan x \\

-------

\bullet \blue Conclusion \bullet \blue

Les solutions de (E) sont :

\fbox{\fbox{\LARGE \rm \red \{y(x)=u(x)+Kx^{2n} \\x,K\in\mathbb{R}

Posté par
Epicurienre : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 15:45

Joli \LaTeX

Kuider.

Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 15:47

Merci Kuid

Vive le \LaTeX

Posté par
Epicurienre : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 15:48

Comment tu fais les points  ? comme à *Conclusion*  



Kuider.

Posté par
1 Schumi 1re : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 15:49

\bullet

Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 15:49

Je les ai piqués à Kévin ici \to ENIGMA 2: Limite d'Etilarkov -1- (magnifique post)

\bullet

Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 15:49

Salut Ayoub

Posté par
1 Schumi 1re : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 15:50

Salut Guillaume.

Posté par
Epicurienre : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 15:51

\cyan \bullet   \yellow Merci \cyan \bullet



Kuider.

Posté par dellys (invité)re : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 15:55

salut tout le monde

très beau LATEX Guillaume

Epicurien >> je ne sais pas si c'est mon ecran seulement, mais ce que tu as ecrit est aveuglant lol

w@lid

Posté par
Epicurienre : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 15:58

Dellys Oui le Jaune n'est pas trés ..

6$ \red \bullet 4$ \rm \blue \mathbb{M}erci 6$\red \bullet



Kuider.

Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:00

\blue \LARGE \clubsuit \scr{Salut Dellys} \clubsuit

Posté par
simon92re : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:04

Citation :
Comment tu fais les points  

si tu veux savoir comment quelqu'un fait un truc en latex, tu fait clique droit sur le signe, puis propriétés et normalement tu doit voir ce qui est écrit a la base

Posté par
infophilere : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:08

Joliii guitou

Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:09

Je prends exemple sur toi, Ô Grand Maître

Posté par dellys (invité)re : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:12

\red \LARGE \clubsuit \scr{Salut Guillaume ! tres beau LATEX } \clubsuit

lol

w@lid

Posté par
simon92re : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:13

c'est pas nicolas le maitre du latex ?

Posté par dellys (invité)re : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:14

y'a elhor qui fait des merveilles aussi et kevin !

w@lid

Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:14

Salut Simon

Le Dieu du \LaTeX, je crois que c'est Elhor

Posté par
infophilere : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:14

Je suis pressé d'avoir fini mon DM pour pouvoir le rédiger nickel chrome

[Encore faudrait-il que je le termine lol je suis bloqué à la question 3 ^^]

Posté par
simon92re : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:16

moi je vote pour nicolas en présentant ce post, qui est vraiment superbe limite(suite du topic posté par _Estelle_)

Posté par
simon92re : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:16

kevin>> tu rédige tes devoirs en latex?

Posté par
infophilere : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:17

simon > Oué je suis en vacances j'ai du temps à perdre

Posté par
simon92re : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:18

et pour nicolas dans le même sujet limite(suite du topic posté par _Estelle_)

Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 21:36

Kévin >

Vous voulez une autre équa-diff, presque du même genre ?



Citation :
4$\rm%20Resoudre%20:%20\fbox{\magenta %20(E)%20:%20xy'%20-%20(2n+1)y%20=%20\frac{x}{1+x^2}}%20\;avec%20n\in\mathbb{N^{\ast}}

Posté par dellys (invité)re : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 22:19

hmmm ... la correction de celle là doit nous fournir d'autres astuces LATEX

amusez vous bien ! vous êtes en vacances


w@lid

Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 22:19

Je confirme, Ehlor est vraiment épatant

Posté par dellys (invité)re : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 22:50

La bêtise du jour :  Moi aussi je suis épatant    :*: Défi : Trigonométrie :*:

Oui, je sais je sais ..

w@lid

Posté par
gui_toure : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 22:51

Ah désolé Walid, mais mettre sin au lieu de \sin, je ne trouve pas ça épatant

Posté par
infophilere : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 22:52

En plus ça dépasse, bouhh !!!

Posté par dellys (invité)re : JFF : * Equation différentielle * 27-10-07 à 22:55

Vous êtes jaloux je le sais ..    ( oui, je ne suis pas un maître en LATEX je vais m'y mettre bientôt )

w@lid

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