Bonjour,

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Amusant; le triangle est rectangle en

Bonjour,
merci d'animer ,

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Les 4 angles mesurent 22.5 °
le Triangle ABC est rectangle en A
Angle B=67.5°                 Angle C=22.5 °

Suite

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A noter  que si l'on trace le cercle circonscrit ,en prolongeant les segments
donnés on coupe ce cercle  par des cordes formant la moitié d'un  octogone.

pour prolonger (mais je n'ai pas regarder) :

peut-on dire quelque chose des longueurs :
a/ BH, BI, BO et BC ?
b/ AB,AH,AI, AO, AC ?

avec les convention usuelle (a, b, c) = (BC, CA, AB) ...

Bonjour,

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Prenons /8  et BC=a
AB=c=a.sin/8 = AI
AC=b=a.cos/8
AH=a.sin/8.cos/8
AO=a/2

BH=asin²/8
BI =2asin²/8
BO=a/2

Bonjour à tous .

Je n'ai vu aucune démonstration du fait que le triangle est rectangle . C'est vrai mais ce n'est pas complètement immédiat .

Imod

Bonjour à tous,
Merci @carpediem d'animer.
Merci @Imod pour son message. Ça me rassure

Je donnais cet exercice en devoir maison en 3ème il y a une quelques années ( avec quelques indices ) . Ceci pour dire qu'il n'est pas utile de sortir l'artillerie lourde .

Imod

Bonjour,

  

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Pour l'angle droit en :

  Soit le centre du cercle circonscrit à .
  On sait ? que dans tout triangle , la hauteur et sont isogonales par rapport aux côtés et

Ici avec les hypothèses de l'énoncé, on en déduit que sont alignés puis que donc que le triangle est rectangle en

Bonjour Lake

Tu fais référence à des choses bien compliquées  que je ne connais pas ( mes connaissances en géométrie se limitent au niveau collège ) . Mais tu donnes la clé , A, O et D sont alignés donc confondus .

Imod

Je voulais dire O et D sont confondus .

Imod

Bonjour Imod,

Bien compliquées peut être pas; pour le dire plus simplement:

  Dans tout triangle , si est le centre du cercle circonscrit, la hauteur issue de et sont symétriques par rapport à la bissectrice de

Oui , tu dois avoir la même idée que moi avec des raccourcis qui m'échappent et un vocabulaire qui n'est pas le mien .

Pour ce qui est des connaissances en géométrie , il y a un véritable fossé entre les gens nés dans les années 50 ou avant et les autres .

Imod

Bonjour,
je confirme les propos de lake . Je suis né en plein milieu des année 50 et pour moi la "bonne vieille géométrie" a été remplacée par les structures : groupe, anneau, corps, espace vectoriel.
J'ai quand-même fait un tout petit peu de géométrie mais mon prof de math-sup avait intitulé son chapitre "algèbre géométrique", c'est tout dire !

Bonjour,

Dans le "énigmes" il était de bon ton de répondre vite et bien.Mon idole était le regretté
Nofutur2  puis Totti1000. On faisait confiance et la démonstration n'était pas nécessaire.
Peu importe comment j'ai trouvé * que les angles mesuraient 22.5 ° ou plus déontologiquement  /8.

*je le dirai sous la torture

Je précise parce que cela n'a pas l'air évident pour tous que je me classe dans la catégorie de ceux qui n'ont jamais fait de géométrie . Le peu que je connais je l'ai appris dans les livres de collège des années 80 et suivantes .

Les expressions : symédianes , points de Lemoine , cercle des 9 points , droite d'Euler , ellipse de Steiner  ont toujours eu un côté mystérieux chez moi . Je jette un coup d'œil à la définition chaque fois que je les rencontre et j'oublie aussitôt .

Imod

La démonstration que j'avais en tête n'est pas celle de Carpediem .

On considère E le point d'intersection de la demi-droite [AO) avec le cercle circonscrit au triangle ABC dont le centre est D . Il faut prouver que D et O sont confondus et pour cela il suffit de voir pourquoi A , O et D sont alignés .

Imod

  

pour voir que A, O et D sont alignés rien de mieux que de faire de la DAO ...

Bonsoir,
J'ai compris la démonstration avec le centre du cercle circonscrit, après avoir vu le pourquoi de la propriété énoncée par lake :

Citation :
Dans tout triangle , si est le centre du cercle circonscrit, la hauteur issue de et sont symétriques par rapport à la bissectrice de

Pour l'alignement de A , O et D , on peut considérer le point d'intersection E de la droite (AO) avec le cercle circonscrit à ABC .  Comme les angles inscrits CAE et CBE interceptent le même arc , l'angle ABE est droit . Alors [AE] est un diamètre du cercle et passe par D .

Imod

  

bonjour,
on tourne un peu autour ...

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angles inscrits encore et encore.
angles HCI = ICO immédiat
pour avoir cet angle égal aussi à ICM il est nécessaire que O et M soient confondus, donc que ABC soit rectangle en C



pour avoir alors angles ACH = HCI il est nécessaire que H soit le milieu de l'arc AI
donc les angles en C sont tous égaux à 45°/2 = 22.5°

PS : j'ai pas fait attention aux noms des sommets de ABC, j'ai laissé Geogebra les nommer dans l'ordre où ils ont été créés...

Bonjour,

Mon approche dès le début est du niveau collège des années 50:
Si le triangle ABC est acutangle  son angle A est divisé en 4 angles  mesurant /8-.
La hauteur H  permet de dire que  l'angle C mesure  /2-3 (/8-) en faisant la  chasse aux supplémentaires et complémentaires  on arrive à HIA-HBA =4,or ces deux angles doivent être égaux puis H est à la fois le pied de la bissectrice et la hauteur du triangle ABI.
Donc =0
Si l'angle A est obtus on arrive au même résultat.

ABC est rectangle en A.
et bien sûr nos 4 petits angles mesurent 22.5° puis les observations demandées par carpediem

Merci pour vos réponses

J'ai pu raté quelque chose mais je ne vois pas comment Dpi arrive à conclure . Il me semble que tous les epsilons jouent leurs rôles à la perfection et qu'on ne peut pas en déduire qu'ils sont nuls .

Imod

Bonjoour Imod
Je suis absolument sûr de ma démonstration et j'espère qu'avant de ne pas
me croire tu  l'as testée.
Si tu insistes vraiment je  la présenterait  .

Je ne me serais pas permis de mettre en doute ta démonstration sans l'avoir essayée , mais si tu es absolument sûr de la méthode je te fais confiance .

Imod

@dpi,
Loin de moi l'idée de vouloir te torturer
Mais je ne vois pas comment tu utilises O milieu du côté BC.

Si l'angle   est </2 ,on ne retrouve pas l'égalité OC=a/2 avec
OB =2BH+OI , pas envie d'écrire tous les angles puis  les sinus et autres.

exemple si =1°    OC=a/2  et OB=  0.526a
pour 0.1 °,   OB=0.5035a
Et bien sûr si =0 il y a égalité.

Oui , on retrouve bien ton empirisme , ça égratigne un peu mes habitudes mais pourquoi pas . Ce n'est pas une démonstration au sens habituel car entre 0,1° et 0,2° il pourrait se passer des choses surprenantes . Mais comme ça marche dans 99,99% des cas , pourquoi chercher plus loin .

Une remarque tout de même depuis Euclide et sûrement avant , on essaie de justifier chaque résultat à partir d'autres clairement établis ou admis .  Ca peut paraître vain car c'est souvent pénible et ne fait que confirmer l'intuition . Ce n'est bien sûr pas l'objectif du forum détente mais de nombreuses branches des mathématiques ont justement été développées pour éviter ces fausses intuitions . Les outils de calcul deviennent de plus en plus performant mais un résultat établi par une machine ne sera jamais une preuve  tant qu'on ne pourra pas le vérifier à la main ou en comprendre chaque étape .

En 4ème je commence toujours la leçon sur les puissances de 10 avec le calcul suivant : pour que chacun comprenne ce qu'est une calculatrice . Les programmes de calcul ont de plus en plus de qualités mais toujours des failles .

Imod

Bonsoir,

Bon dimanche,

Une petite approche par réciproque :
Soit un octogone régulier AJKCLMNB et sa grande diagonale
BC.
On trace AN ,AM, AL ,AC
les angles issus de A sont égaux à /8
AL Par définition passe par O
AN coupe BC orthogonalement en H
AM  est la bissectrice de  BAC.
Si l'on trace un point  A'  voisin de A , il est impossible de réunir ces 3 propriétés à la fois.

Donc dans le triangle ABC ,H ,I et O   valident le problème.

Oui Dpi la vérification est immédiate , la partie délicate est de justifier que c'est le seul triangle possible

Imod