JFF Géométrie : L'équerre de Jamo :*: - forum de maths

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JFF Géométrie : L'équerre de Jamo 
Posté par 
jamo   27-05-07 à 14:58
Bonjour,

n'ayant pas de chance avec mes calculatrices (voir  JFF : La "vraie" calculette de Jamo :*: et  JFF : La nouvelle calculette de Jamo :*: ) j'ai décidé d'arrêter les calculs et d'attaquer la géométrie avec mes élèves.

J'ai sacrifié mes calculatrices aux enchères sur e-baille pour investir dans une équerre.

Mais voilà qu'en bricolant avec mon équerre, me voilà pris d'un énorme doute !!

En effet, sur le côté [AB], j'ai placé un point D tel que CD=2AD. Ensuite, j'ai placé le point E sur [BC] tel que CDE soit rectangle en D.

Résultat : Je trouve que EB=CD !!

Je me pose donc la question suivante : est-ce une équerre 60-30 ? C'est à dire est-ce que ses 2 angles aigus font vraiment 60° et 30° ?

Justifier votre réponse.

Pour simplifier, on prendra CD=1 comme l'indique la figure ci-dessous (qui n'est pas à l'échelle).

Bonne recherche, merci de répondre en blanké.

Exercice abordable dès la Seconde, mais attention, c'est un peu serré !! 

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jamo re : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   27-05-07 à 15:09
Finalement, je vais modifier, ou plutot ajouter une question (car je viens de réaliser que celle posée est un peu "facile") : Calculer la valeur exacte de CE. (mais répondez quand même avec celle de l'énoncé, elle n'est pas inintéressante).

Ceci permettra ensuite de calculer toutes les autres longueurs et angles dans ce triangle ...
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Violoncellenoirre : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   27-05-07 à 15:17
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Hello, ADC = Cosinv 0.5 = 60°. Donc EDB = 30°. Si B = 30° , cela veut dire que le triangle EDB est isocèle et que ED = 1. Si ED = 1, alors DCE = 45°.Comme ACD = 30°, on se retrouve avec un angle de 75° pour ACB, on a pas les 60°. Donc on ne peut pas avoir 30° et 60° (tout le texte est à lire au temps du conditionnel)
 Posté par 
jamo re : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   27-05-07 à 15:25
Violoncellenoir >> 
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Oui, ta démonstration est bonne, c'est pour ça que j'ai raconté l'autre question qui était en fait le but de mon exercice ...
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moctarre : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   27-05-07 à 15:54
Bonjour,

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Supposons que ACB=60

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sin(ACD)=1/(1/2)=1/2 donc ACD=30 alors CDB=30

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ADC=30 donc EDB=30 (1)

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CED=60 donc DEB=120 (2)

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de (1) et (2),on déduit que ABC=180-(120+30)=30

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Donc c'est bien une equerre 60-30
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jamo re : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   27-05-07 à 15:59
moctar >> 
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non tu te trompes ... ton raisonnement est faux.

Je t'explique : tu supposes que ACB=60°, puis tu fais tous un tas de calculs pour démontrer que cela conduit à ABC=30°. Alors que tu aurais pu le dire tout de suite, étant donné que l'angle en A fait 90°.

A aucun moment, tu n'utilises les données sur les longueurs, alors que ce sont elles qui determinent les valeurs de angles ...
 Posté par 
moctarre : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   27-05-07 à 16:23
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oui,tu as raison
 Posté par 
Violoncellenoirre : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   27-05-07 à 16:32
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Pour la distance CE, c'est un brin plus tortueux 
 Posté par 
jamo re : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   27-05-07 à 16:41
Violoncellenoir >> 
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tortueux est le mot juste
 !! 
 Posté par 
lyonnaisre : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   28-05-07 à 12:28
Bonjour 

Je trouve : 
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CE = 2^(1/3) = 1.25992

D'autre part, je trouve également :

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DE = [ 1 - 2^(1/3) + 2^(2/3) ]/[ 3^(1/2) ] = 0.766421

et

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DB = 2^(2/3) = 1.5874

De plus au niveau des angles :

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Si on note angle(DCE) = a

On a : cos(a) = CD/CE = 1/CE = 2^(-1/3) = 0.7937  et  sin(a) = DE/CE = DE.cos(a)

d'où :

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a = arccos(1/CE) = arctan(DE) = 37.467°

D'où :

angle(ACB) =  Cliquez pour afficher
30+37.467 = 67.5°
  et donc :  angle(CBA) =  Cliquez pour afficher
32.5°

A+

Romain

 Posté par 
jamo re : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   28-05-07 à 12:32
lyonnais >> 
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bravo pour la valeur de CE, c'est bien ce qu'il fallait trouver ...
 Posté par 
plumemeteorere : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   28-05-07 à 13:52
bonjor Jamo

supposons que l'angle dbc vaille 30 degrés

alors le triangle edb est isocèle car ses angles d et e valent 30 degrés

eb = ed = 1 = dc

le triangle dce est rectangle isocèle en d; l'angle dce vaut 45 degrés et non 30 degrés

la supposition n'est pas bonne et abc n'est pas une équerre 30/60
 Posté par 
jamo re : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   28-05-07 à 13:54
Bonjour plumemeteore,

en effet, une petite démonstration par l'absurbe suffit pour démontrer que le triangle n'a pas des angles de 30° et 60°.

Maintenant, il reste à calculer la valeur exacte de CE, et là, c'est plus costaud ... 
 Posté par 
Fractalre : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   28-05-07 à 13:56
Bonjour 

Question subsidiaire : Comment tracer une telle figure à la règle et au compas?

Fractal 
 Posté par 
jamo re : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   28-05-07 à 13:57
Bonjour Fractal, voici la réponse à ta question subsidiaire : 
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on ne peut pas ...
 Posté par 
Fractalre : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   28-05-07 à 13:59
jamo -> 
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Absolument, on ne peut pas faire de racines cubiques à la règle et au compas 

Fractal 
 Posté par 
jamo re : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   28-05-07 à 14:04
Fractal >> 
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oui, c'était d'ailleurs la question initiale là où j'ai "repompé" cet exercice ...
  Posté par 
jamo re : JFF Géométrie : L'équerre de Jamo   02-06-07 à 12:06
Voici la correction.

1. Les angles aigus du triangle ABC sont-ils égaux à 30° et 60° ?

Une petite démonstration par l'absurde suffit pour répondre à cette question.

Supposons que l'angle  soit égal à 30°.

Etant donné que l'angle  est aussi égal à 30° (car 180-60-90=30), alors cela implique que le triangle BED est isocèle en E.

Donc, on aurait EB=ED=CD=1, ce qui implique que le triangle CDE est rectangle isocèle en D, donc l'angle  fait 45°.

Donc l'angle  serait égal à 75° (30+45) et non pas 60°.

Absurde : donc l'angle  n'est pas égal à 60°.

2. Calcul des dimensions du triangle

On place un repère orthonormé  comme l'indique la figure ci-dessous.

En appelant k l'abscisse du point B, les points A, B, C et D ont pour coordonnées : .

Equation de la droite (DE)

Etant donné que l'angle  fait 30°, on a : 

Equation de la droite (BC)

En utilisant les coordonnées des points B et C, on trouve :  

Coordonnées du point E

En résolvant le système composé des équations des droites (DE) et (BC), on trouve :

Détermination de la valeur k

En utilisant les coordonnées des points B et E, on trouve que la longueur BE, en fonction de k, est donnée par :

En utilisant le fait que BE=1, on trouve que k est solution de l'équation :

La solution retenue de cette équation donne donc l'abscisse du point B :

Calcul des dimensions du triangle

Connaissant la valeur de k, on peut facilement avoir accès à toutes les longueurs dans le triangle. En particulier, on trouve : 

Question subsidiaire

J'ai proposé une solution analytique pour résoudre ce problème d'apparence simple (il est d'ailleurs intéressant de voir apparaitre des racines cubiques dans un problème de géométrie, c'est plutôt rare ...).

Qui a une solution plus "géométrique" ?

La question reste ouverte, je n'ai pas la réponse ...