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JFF géométrique

Posté par
smil
06-04-07 à 23:13

Je me souviens avoir proposé cet exercice à kuid312, qui n'y a pas répondu

Soit ABC un triangle équilatéral de côté a tel qu'il existe un point M vérifiant AM = 3, BM = 4 et CM = 5 ; Quelle est la valeur de a ?

Réponse en blanké, de préférence
(j'espère qu'il n'a pas déjà été posé)

Posté par
mikayaou
re : JFF géométrique 06-04-07 à 23:47

bonsoir smil

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Posté par
smil
re : JFF géométrique 07-04-07 à 00:24

> mika
j'aurais préféré une valeur axacte

Posté par
jamo Moderateur
re : JFF géométrique 07-04-07 à 08:56

Bonjour,

petite précision : le point M doit-il être situé à l'intérieur ou à l'exterieur du triangle ..

Posté par
smil
re : JFF géométrique 07-04-07 à 09:53

> jamo : bonne question, les deux situations sont à envisager

Posté par
frenicle
re : JFF géométrique 07-04-07 à 10:53

Bonjour smil

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Houla, pas top le blanké !

Cordialement
Frenicle

Posté par
smil
re : JFF géométrique 09-04-07 à 10:22

bonjour
> frenicle,

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Posté par
mikayaou
re : JFF géométrique 09-04-07 à 10:37

bonjour smil

à voir les solutions trouvées par Frenicle ( dont, décidément, je verrais bien le pseudo enjolivé de smileys jaune voire rouge ), elles peuvent être issues d'une équation bicarrée

j'ai beau triturer mes formules de Héron qui m'ont permis de trouver 6,77 , je ne parviens pas à obtenir une bicarrée...

quand tu jugeras opportun de clore cette JFF, peux-tu détailler la solution ?

Merci

Posté par
smil
re : JFF géométrique 09-04-07 à 10:43

ok, peut-être que frenicle pourra aussi nous dire comment il a fait

Posté par
frenicle
re : JFF géométrique 09-04-07 à 13:28

Quand tu veux !  

Posté par
smil
re : JFF géométrique 10-04-07 à 21:04

bon, frenicle, tu peux donner ta solution, merci

Posté par
frenicle
re : JFF géométrique 10-04-07 à 22:06

Bonsoir,

Voilà ce que j'ai fait :

Soient (x,y) les coordonnées du point M, (0,0), (a,0) et (\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2}) celles de A, B et C.

Les conditions du problème s'écrivent
x² + y² = 3²
(x - a)² + y² = 4²
(x - a/2)² + (y - \frac{a\sqrt{3}}{2})² = 5²

C'est-à-dire
x² + y² = 9
x² + y² + a² - 2ax = 16
x² + y² + a² - ax - ay\sqrt{3} = 25

En replaçant x² + y² par 9 dans les deux dernières équations et en soustrayant la deuxième à la troisième, on obtient le système équivalent :

x² + y² = 9
a² - 2ax = 7
ax - ay\sqrt{3} = 9

On tire des deux dernières équations les valeurs de x et y

x = \frac{a^2-7}{2a} et y = \frac{a^2-25}{2a\sqrt{3}}

qu'il suffit de reporter dans la première équation pour obtenir l'équation vérifiée par a :

a^4 - 50 a^2 + 193 = 0

dont les solutions positives sont \sqrt{25 \pm 3\sqrt{12}}.

Cordialement
Frenicle

Posté par
smil
re : JFF géométrique 10-04-07 à 22:26

bravo et merci, frenicle
Vive la géométrie analytique, j'avais une solution utilisant Al Kashi, mais elle est un peu plus longue...



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