JFF : l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère plus !

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JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère plus !
Posté par 
carpediem  23-09-19 à 20:44
salut les cerveaux

inspiré par ce sujet  Aire et travaillant sur les suites et leur limite avec mes élèves je vous propose un peu de ... géométrie !    c'est ce qu'on appelle la transversalité ... j'ai pris des notes !

on a construit les carrés de côtés n, n + 1 et n + 2 comme sur la figure et on note an, bn et tn les aires des triangles ABP, EFQ et du trapèze BCQP :

on pose sn = an + bn

PS : on peut omettre les indices lorsqu'il n'y a pas ambiguïté ...

questions :

1/ l'aire du trapèze est-elle supérieure à la somme des aires des deux triangles ?

2/ quelle est la limite du rapport s/t ?

3/ quelle est la limite du rapport de s + t et de l'aire du carré du milieu ?

4/ est-il nécessaire de prendre le carré du milieu dans la question 3/ ?

d'autre(s) question(s) viendront peut-être ultérieurement ...

et par générosité vous pouvez blanker ... 
 Posté par 
jsvdbre : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 09:23
Salut carpediem

Merci pour ce problème plaisant.
Je ne peux pas blanker.

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1/

On va tout exprimer en fonction de l'aire du triangle AED qui est connue. Je la note a.
On a a = 3/2(n+1)(n+2) (mais ça n'a pas d'importance)

Soit A' le point intersection des droites (AH) et (EF). AA'ED est donc un rectangle dont (AE) est une diagonale.
Alors les triangles AA'E et AED ont même aire a.
Le triangle EFQ est une réduction du triangle EA'A dans un rapport (n+2)/(3n+3).

Par conséquent 

Dans la même veine, le triangle ABP est une réduction du triangle ADE dans un rapport n/(3n+3).

Par conséquent 

Toujours selon le même raisonnement, l'aire du triangle 

Il suite que 

On est donc amené à comparer les quantités  et 

Il vient, sauf erreur de calcul :  qui est positive dès lors que .

Il n'y a donc que dans le cas n = 1 où l'aire du trapèze est inférieure à la somme des aires des deux autres triangles.

malou > ai blanké
 Posté par 
malou re : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 09:29
ah..je viens de voir

on a perdu la fonction blank

je préviens

pour ceux qui veulent blanker

avant la partie à cacher [ blank]

à la fin : [ /blank]

(sans les espaces après le 1er crochet)
 Posté par 
jsvdbre : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 09:32
Ah bah oui, j'aurais dû penser à mettre les balises à la main ... 
 Posté par 
dpire : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 09:40
Bonjour,

Bel exercice:

ATTENTION BLANK DISPARU  

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1/Je trouve tn>sn
2/la limite de s/t est 2/3
3/la limite s+t /(n+1)² est 1/12
4/bof

malou edit
 Posté par 
malou re : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 09:49
vous pouvez mettre vos blank à la main ! 

malou @ 24-09-2019 à 09:29

ah..je viens de voir

on a perdu la fonction blank

je préviens

pour ceux qui veulent blanker

avant la partie à cacher [ blank]

à la fin : [ /blank]

(sans les espaces après le 1er crochet)
 Posté par 
Sylvieg re : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 09:50
Bonjour,

J'ai l'impression que  t1 < s1 .
 Posté par 
Tom_Pascal re : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 09:51
Bonjour,

J'ai remis la fonction blank en route 
 Posté par 
malou re : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 09:51
impeccable, merci pour ton action hyper rapide ! 
 Posté par 
caritare : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 10:02
Bonjour et merci pour cet exo original 

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1) t<a+b

2) limite=2

3) limite = 3/2

4) non puisque c'est le carré qui prévaut. D'où le titre peut être ? 

(je ne justifie pas mes réponses , je n'ai que mon téléphone...) 
 Posté par 
alb12re : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 10:03
salut 
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Appuyer sur Exec et incrementer la valeur du curseur 
 Posté par 
dpire : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 10:03
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Pour tn/sn

si n<2.19582  le rapport est négatif 
 Posté par 
Sylvieg re : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 10:32
Mon message de 9h50 était destiné à dpi que je salue  

Sa réponse a été blankée depuis (merci malou !).

J'ai regardé la réponse de jsvdb que je salue aussi  

Je trouve la même chose pour 1), avec des calculs un peu moins simples...
 Posté par 
jsvdbre : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 10:34
Bonjour @Sylvieg 
J'avais une version Thalès/ Pythagore au début puis ça a fait tilt avec les réductions.
 Posté par 
Sylvieg re : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 11:00
Je n'avais utilisé que Thalès.

Voici ce que je comprends pour la question 4) :
Peut-on remplacer "milieu" par "gauche" ou "droite" ?
Ma réponse :
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Oui.
Évident car le quotient entre deux des aires de carré a pour limite 1.
 Posté par 
mathafou re : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 11:13
Bonjour,

Thalès et réduction, ou homothétie, c'est pareil, la seule différence est dans le vocabulaire employé pour la rédaction.

par contre Pythagore, je ne vois pas ... ça ne servirait que pour calculer des mesures sur la droite AE, mesures qui ne servent à rien du tout pour le problème
 Posté par 
jsvdbre : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 11:17
Citation :
par contre Pythagore, je ne vois pas ... ça ne servirait que pour calculer des mesures sur la droite AE, mesures qui ne servent à rien du tout pour le problème

Oui, m'enfin des triangles rectangles, il y en a un peu partout, alors de prime abord, penser à Pythagore n'est pas saugrenu. En second abord, oui, on s'aperçoit qu'on peut faire très simple.
 Posté par 
jsvdbre : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 11:40
Citation :
Thalès et réduction, ou homothétie, c'est pareil, la seule différence est ...

... que dans ma tête ce ne sont pas du tout les mêmes figures et processus qui se dessinent et se mettent en route.

Alors, objectivement, oui, ce sont les mêmes concepts, subjectivement, non (disons qu'ils ne sont pas du tout traités de la même façon en interne).

Donc quand je dis avoir fait tilt avec les réductions, ma remarque était purement subjective.
 Posté par 
royannaisre : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 11:54
Bonjour

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1) t >s si N>3

lim(s/t) = 4 ( quand N tend vers 0)
 Posté par 
lakere : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 12:44
Bonjour,

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1) Oui pour  en supposant  entier

  Pour les limites:

 2) -->

 3) --> 

 4)Un dessin pour les limites et 4) lorsque "n est grand":

 Posté par 
dpire : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 14:19
J'améliore ma réponse de 9 h 40

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1/Pour n2 ---> tn<sn   ;

 j'ai cherché une valeur non entière et j'ai trouvé

n>2.1958232---> tn>sn

2/la limite sn/tn =2/3

3 /la limite  s+t/(n+1)² ,je disais 1/12  lire  10/12
 Posté par 
alb12re : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 18:34
du grain à moudre pour une petite seance video en classe 
 Posté par 
carpediemre : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 19:26
bon ben ça semble vous avoir plus !!! tant mieux alors ...

et je remercie jsvdb d'avoir fait les calculs à ma place : ça m'évitera de me fatiguer quand je donnerai cet exo en classe 

marrant ces deux limites 2/3 et 5/6 :

5 = 2 + 3

6 = 2 * 3

tiens une question : pour quelle valeur de n a-t-on CQ  AH ?
 Posté par 
royannaisre : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 20:12
bonjour

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CQ <AH si n>1+3
 Posté par 
jsvdbre : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  24-09-19 à 22:57
carpediem

je remercie jsvdb d'avoir fait les calculs à ma place : ça m'évitera de me fatiguer quand je donnerai cet exo en classe 

Rigolo va 
Y'avait rien de compliqué ...
 Posté par 
dpire : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  25-09-19 à 08:17
Pour fignoler

CQ=AH si n=1+3
 Posté par 
dpire : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  25-09-19 à 11:44
>royannais

je viens de lire ta réponse...

J'en profite pour te demander si tu as trouvé n pour sn=tn
 Posté par 
royannaisre : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  25-09-19 à 15:49
Bonjour dpi

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sn = tn si n= 3
 Posté par 
dpire : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  25-09-19 à 16:51
Une autre particularité (triviale )  ..

les deux trapèzes du carré de coté n+1 sont égaux si n=1
 Posté par 
Chichedu83500re : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  21-01-20 à 19:00
*** multipost concernant un exo sans aucun rapport ****
 Posté par 
dpire : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  22-01-20 à 09:36
Bonjour,

Je ne sais pas comment il est remonté ,mais j'avais longuement  planché sur cet exo.

Pour mémoire :

1/t/s >1.5

2  lim s/t =2/3  

3 lim s+t/c =5/6
 Posté par 
mathafou re : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  22-01-20 à 10:34
bonjour dpi

il est remonté parce que Chichedu83500 a "arrosé" plusieurs sujets au hasard  de demande d'aides sans aucun rapport, les réponses apportées dans son sujet à lui ne lui "convenant pas".
  Posté par 
dpire : JFF :  l'aire de rien ... peut-être que ça ne vaut guère pl  22-01-20 à 10:37
Particularité de la particularité

les deux trapèzes formant le carre (n+1)  ont une aire

dont le rapport est 1 pour n=1 et lorsque n tend vers l'infini ,mais en passant par un maximum quand n=3